chi mi aiuta con questo integrale???

Question

integrale definito tra 1 ed e di (log (1+ x ))/x^2
ho provato prima con un integrale per parti ma poi mi ritrovo a dover fare molti altri integrali per parti. so già che è una stupidagine, ma non riesco a venirne fuori

Answer 1

Forse hai sbagliato qualcosa nell'integrazione per parti perchè in realtà lo semplifica.
Ti ridordo la formula

∫ fg'dx = fg - ∫ f'g dx

Procede con il risolvere il tuo integrale, ma lo risolvo come un intregrale indefinito, senza portarmi gli estremi di integrazione.

∫ [log(1+x)]/x^2 dx =

Considero f = log(1+x)
g' = 1/x^2, la cui primitiva sarà g = -1/x
quindi

= - [log(1+x)]/x - ∫ -[1/x(1+x)] dx =

= - [log(1+x)]/x + ∫ 1/x(1+x) dx

Adesso considero solo l'integrale presente nella precedente espressione:

∫ 1/x(1 + x) dx =

1/x(1+x) lo voglio scrivere come A/(x + 1) + B/x
Allora

A/(1 + x) + B/x = (Ax + B + Bx)/x(1 + x) = [(A + B)x + B]/x(1 + x)

da cui

A + B = 0
B = 1

quindi A = -1
Ritorno all'integrale e applicando la proprietà additiva degli integrali

= ∫ 1/x dx - ∫ 1/(1 + x) dx = log|x| - log|1 + x|

Come ben saprai che la funzione log è definita solo per valori positivi, poichè non sappiamo i valori assunti dalla x, mettiamo l'argomento in valore assoluto.

Metto insieme tutto e ottengo la soluzione dell'integrale indefinito.

- [ log(1 + x) ]/x + [ log|x| - log|1 + x| ] =

= - [ log(1 + x) ]/x + log|x| - log|1 + x| =

= log|x| - (1/x + 1)log|1 + x|

In realtà dobbiamo risolvere un integrale definito i cui estremi di integrazione sono 1 ed e.
Possiamo notare che la x varia in un intervallo positivo, quindi possiamo anche non mettere gli argomenti del logaritmo in valore assoluto.
Procediamo con la sostituzione degli estremi nell'espressione del risultato:

loge - (1/e + 1)log(1 + e) - [log1 - (1/1 + 1)log(1 + 1) =

= 1 - (1/e + 1)log(1 + e) + 2*log2

Ciao!!!
Lulisja

Answer 2

e invece proprio l'integrazione per parti te lo rende semplice

int(1,e) [ln(1+x)/x^2] = -[ln(1+x)/x](1,e) + int(1,e)[1/x(1+x)] = -[ln(1+x)/x](1,e)+ int(1,e)[1/x - 1/(1+x)] = -[ln(1+x)/x](1,e)+ [ln (x/(1+x))] (1,e) = - (1/e) ln(1+e) + ln (e/(e+1)) + ln 2 - ln (1/2) se vogliamo raccogliere elegantemente :

- (1/e) ln(1+e) + ln e - ln (e+1)) + ln 2 + ln 2 = 1 + 2ln2 - [(e+1)/e] ln( e + 1 )

spero sia chiaro per la scrittura non dipende da me ma da quest'editor

Answer 3

Prova per sostituzione ponendo
y=log(x+1)
x= e^y-1
dx= e^y dy
dovrebbe andare!

Ha ragione Barry, mi sono fidato troppo di ciò che avevi detto riguardo l'integrazione per parti!

Lulisja hai una pazienza a scrivere certe risposte.. io non so come fai!!!
Però Barry aveva già risposto... sei la solita perfezionista! :-)