equazioni differenziali?

Question

devo risolvere l'equazione differenziale di y"-6y'+9y=0 calcolando c1 e c2 in modo che per x=1 risulti y(1)=-e^3 e y'(1)=-6e^3.

Answer 1

Bello! Una delle cose che mi piace di più della matematica!

Incominciamo:
y''-6y'+9y=0 è una equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine. Per risolverla poni l'Ansatz:
y(x)= A*e^(c*x), con A>0.
sostituisci con y'(x)= A*c*e^(c*x) e y''(x)= A*c^2* e^(c*x) e ottieni:
A* e^(c*x)* ( c^2 - 6c+ 9) = 0
A* e^(c*x) è sempre maggiore di zero, perciò si può semplificare:
c^2-6+9=0
(c-3)^2=0
c=3
Visto che hai una sola soluzione, hai un solo "vettore" linearmente indipendente. Ma te ne servono due per generare lo spazio vettoriale delle soluzioni dell'equazione. Si può dimostrare che però x*e^(c*x) e e^(c*x) sono linearmente indipendenti.
La soluzione generale è una combinazione lineare dei "vettori" e^(3*x) e x*e^(3*x), perciò:

y(x)= C1*e^(3x)+ C2*x*e^(3x).

Ora hai le condizioni iniziali: y(1)=-e^3, y'(1)=-6e^3.
Ottieni un sistema lineare a due incognite C1, C2:
-e^3= C1*e^3 + C2*e^3
-6e^3= 3C1*e^3 + C2*(3*1+1)*e^3

da cui:
-1= C1+ C2
-6= 3*C1 + 4*C2

quindi:
C1=-C2-1
sostituisco nella seconda e ottengo:
-6= 3* (-C2-1) + C2
-6+3 = -2*C2
-3= -2*C2
C2= 3/2
e quindi:
C1= -5/2

Perciò la soluzione sarà:
y(x)= -5/2* e^(3x) + 3/2*x* e^(3x)

Ciao!

Answer 2

non sapendo bene che tipo di metodo devi usare, visto che qualcuno ha suggerito il metodo "classico", ti suggerisco brevemente un altro modo.

Puoi applicare la trasformazione di Laplace all'intera equazione differenziale, inserendo in modo opportuno le condizioni iniziali; poi, trovata la L-trasformata della soluzione, devi determinare la trasformata di Laplace inversa e leggere la soluzione.

Le trasformate di Laplace si trovano su molti testi di Analisi Matematica, di Elettronica, di Telecomunicazioni, ......

Answer 3

è facile

prima di tutto imposti l'equazione associta z^2-6z+9=0,
le soluzioni sono z=3...sono coincidenti visto che è un quadrato.
la soluzione libera sarà quindi y(x)=c1*e^(3x) + c2*x*e^(3x).

a questo punto fai la derivata e ti trovi i valori c1 e c2...semplice...

Answer 4

ahahahahahahaha...io l'ho finita la scuola e stop con ste cose...ahhhhhhhhhhh