Mathe Betragsstriche?

Question

(1-x)²(1+x)² = |(1-x)(1+x)|²= (1-x²)²= 1-2x²+x²²

die ²² hab ich für hoch 4 verwendet

Meine Frage ist:
Ich habe nun schon viel im Internet geschaut aber ich finde nicht heraus, wie das mit den Betragsstrichen Funktioniert und auch nicht wie diese aufgelöst wurden anschliesend.

Kann mir jemand helfen?

Answer 1

Ich denke, dass es sich hier nicht um Betragsstriche handeln sollte, sondern um große (bzw. eckige) Klammern. Da das Ergebnis quadriert wird, ist es nämlich unerheblich, ob es sich um ein positives oder negatives Ergebnis handelt (daher wären Betragsstriche relativ überflüssig). Der Inhalt der großen (eckigen Klammern) ist dann einfach nach der dritten Binomischen Formel aufgelöst :

(a+b)*(a-b)=a^2-b^2

^2="hoch 2"

Answer 2

Bei den beiden Betragsstrichen soll es sich wahrscheinlich wie schon von Axel gesagt um eckige Klammern handeln (Betragsstiche sind überflüssig). Ansonsten kannst du dir den Betrag |a| auch als |a|=wurzel(a²) ausrechnen (die Wurzel ist als positve Zahl definiert).

Zum lösen der Gleichungen:

1.
(1-x)²(1+x)²
= (1-2x+x²)(1+2x+x²) =1-2x+x²+2x-4x²+2x³+x²-2x³+x²²
= 1-2x²+x²²

2.
[(1-x)(1+x)]² (nach der 3. binomischen Formel)
=[1²-x²]²
=[1-x²]²
=1-2x²+x²²

3.
(1-x²)²=
1-2x+x²²

damit gilt:
(1-x)²(1+x)²=[(1-x)(1+x)]²=(1-x²]²=1-2x²+x²²
Q.E.D.

Answer 3

Ich gehe davon aus, daß x eine einfache reelle Zahl und nicht komplex oder gar noch komplizierter sein soll, ja?

In diesem Fall sind die Betragsstriche im Zwischenschritt einfach überflüssig. Für a = 1-x und b = 1+x steht da a² b² und es gilt immer

a² b² = aa bb = (ab)(ab) = (ab)²

Da braucht man keine Betragsstriche. Von etwas den Betrag zu nehmen und es dann zu quadrieren ist im Reellen überflüssig, da
Quadrate reeller Zahlen immer positiv sind.

Trotzdem gibt es diese Schreibweise, man nennt das das "Betragsquadrat". Dies macht bei komplexen Zahlen Sinn und dort ist x² etwas anderes als |x|². In diesem Fall wäre der Zwischenschritt in der Rechnung sogar *falsch*. Falls Du allerdings nicht weißt was komplexe Zahlen sind: Mach Dir keine Sorgen, die Betragsstriche sind im reellen einfach überflüssig.

Wahrscheinlich wollte derjenige der das so geschrieben hat, besonders darauf hinweisen, daß er die Quadrate der einzelen Klammern "herausgezogen hat", die Vorzeichen der Terme in den Klammern aber immer noch keine Rolle spielen.

Mit diesen "suggestiven" Schreibweisen ist das so eine Sache und ich würde sagen da war jemand ziemlich "übereifrig" und hat Dich völlig überflüssigerweise verwirrt, ja es sogar so verschlimmbessert, daß es für komplexe Zahlen nun falsch ist.

Oder kann es sein, daß Du eckige Klammern einfach mit Betragsstrichen verwechselt hast?

Answer 4

Der Betrag ist eigentlich ein der Vektorrechnung entstammender Begriff. In diesem Sinne ist der Betrag die Wurzel aus der Summe der qudrierten Einzelkomponenten. Da ein Betrag spiegelt lediglich den Vorzeichenbefreiten Wert eines Vektors (Länge) wieder. In der Mathematik werden Betragsstriche verwendet um einen Wert Vorzeichen frei zu machen.

Ich bin mir auch nicht sicher, ob es sich in deinem Beispiel um Betragsstriche handelt, sondern lediglich um eine Faktorisierung der Art [(1-x)(1+x)]². Überprüf das mal, es scheint mir wahrscheinlicher.

Answer 5

Betragsstriche zeigen normalerweise an, daß ein Term sowohl positiv, als auch negativ sein kann. |1| = + und/oder - 1

|(1-x)(1+x)|^2 = + {(1-x)(1+x)}^2 und -{(1-x)(1+x)}^2.