Cómo puedo calcular el baricentro, ortocentro y circuncentro de un triángulo conociendo sus tres vértices??

Question

Si tienen un método algebráico me ayudarían mucho....
gracias!!!

Answer 1

El problema que planteas se resuelve recurriendo a la geometría analítica.
Desconozco cuánto conoces de matemática, por lo que puede que por momentos mi respuesta no sea todo lo entendible que tu pretendes... desde ya te pido disculpas, pero desde el punto de vista práctico intentaré solucionar tu problema.

Introducción:

Unos de los axiomas de la geometría plana es que dos puntos definen una recta en el plano, por lo tanto si conocemos las coordenadas de dos puntos podremos conocer la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos.
En símbolos sería algo así:

Dados A(x1,y1) y B(x2,y2), la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B es:

(y - y1)/(x - x1) = (y1 - y2)/(x1 - x2)

o sea: y = y1 +(y1 - y2)/(x1 - x2)*(x - x1)

A partir de esta ecuación para un "x" dado puedo saber el valor de "y" que pertenece a la recta que pasa por los puntos dados.

Se llama pendiente "m" a: (y1 - y2)/(x1 - x2)

Además es conveniente recordar también que dos rectas perpendiculares tienen su pendiente inversa y opuesta, es decir:

si m1 = -1/m, entonces las rectas con pendientes m y m1 son perpendiculares. Esto nos va a ser de mucha utilidad más adelante.

DESARROLLO

Vamos a suponer que conocemos los vértices de un triángulo ABC, es decir, son datos las coordenadas x e y de cada uno de los vértices.

En letras: A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3)


BARICENTRO

Es el punto donde se intersectan las medianas (segmento que une el vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto)

El procedimiento que vamos a utilizar en todos los casos será conceptualmente el mismo: encontrar la ecuación de las rectas (en este caso a la que pertenecen las medianas) y luego encontrar la intersección igualando las ecuaciones.

Las coordenadas del punto medio del segmento BC son:

Xm = (x2 + x3)/2 Ym = (y2 +y3)/2

El vértice opuesto es A(x1,y1), por lo tanto conocemos la ecuación de la recta a la que pertenece la mediana que pasa por el vértice A y el punto medio de BC.

La ecuación es: x = x1 + (y - y1).A

donde A=(x2+x3-2.x1)/(y2+y3-2.y1)

Del mismo modo podemos hacer con el punto B y el lado AC, obteniendo así la ecuación de la recta a la que pertenece la mediana que pasa por el vértice B y el punto medio de AC.

La ecuación es: x = x2 + (y - y2).B

donde B=(x1+x3-2.x2)/(y1+y3-2.y2)

Podemos encontrar la intersección de las dos rectas igualando las ecuaciones y despejando "y", de este modo tenemos la coordenada del baricentro del triángulo.

Operando resulta:

y =(x2-x1+A.y1-B.y2)/(A - B)

Conocido "y", el valor de "x" se calcula con cualquiera de las dos ecuaciones anteriores.

CIRCUNCENTRO

Es el punto donde se intersectan las mediatrices (recta perpendicular al lado de un triángulo que pasa por su punto medio)

El punto medio del lado AB tiene por coordenadas:

Xm = (x1 + x2)/2 Ym = (y1 + y2)/2

La recta a la que pertenece la mediatriz a AB tiene una pendiente inversa y opuesta a la de este lado por ser perpendicular a ella, o sea:

m= - (x1 - x2)/(y1 - y2)

La ecuación de la recta resulta:

x= C - y.(y1-y2)/(x1-x2)

donde

C= (x1+x2)/2 + (y1+y2)/2.(y1-y2)/(x1-x2)

Del mismo modo puede hacerse con el lado BC y se obtiene la siguiente ecuación para la recta:

x= D - y.(y3-y2)/(x3-x2)

donde

D= (x3+x2)/2 + (y3+y2)/2.(y3-y2)/(x3-x2)

Podemos encontrar la intersección de las dos rectas igualando las ecuaciones y despejando "y", de este modo tenemos la coordenada del circuncentro del triángulo.

Operando resulta:

y = (D - C) / ((y3-y2)/(x3-x2) - (y1-y2)/(x1-x2))

Conocido "y", el valor de "x" se calcula con cualquiera de las dos ecuaciones anteriores.

ORTOCENTRO

Es el punto donde se intersectan las alturas (segmento pependicular al lado hasta el vértice opuesto, en otras palabras, es la distancia entre el vértice y el lado opuesto)

Este caso es muy similar al anterior, sólo que en lugar de tomar el punto medio tomamos el vértice opuesto y la pendiente de la recta es la inversa y opuesta al lado opuesto al vértice seleccionado.

Tomando el vértice A y el lado BC resulta:

x = E - y.(y2-y3)/(x2-x3)

E = x1 + y1.(y2-y3)/(x2-x3)

Tomando el vértice B y el lado AC resulta:

x = F - y.(y1-y3)/(x1-x3)

F = x2 + y2.(y1-y3)/(x1-x3)

Podemos encontrar la intersección de las dos rectas igualando las ecuaciones y despejando "y", de este modo tenemos la coordenada del ortocentro del triángulo.

Operando resulta:

y = (E - F) / ((y2-y3)/(x2-x3) - (y1-y3)/(x1-x3))

Conocido "y", el valor de "x" se calcula con cualquiera de las dos ecuaciones anteriores.

Con esto creo que tienes resuelto el problema. Una recomendación final, carga todas las fórmulas con mucho cuidado en una planilla de cálculo, luego sólo bastará ingresar las tres coordenadas y tienes los valores buscados.
Yo lo hice y comprobé los resultados con un programa de dibujo. He revisado bien las fórmulas y espero no haberme equivocado al transcribirlas.
Cualquier duda contactame a [e-mail]

Answer 2

te recomiendo que utilises el libro : Trigonometria de triangulos de baldor, lo puedes conseguir en l. a. preparatoria n.- eighty 5 del e.d de mexico es l. a. unica prepa que conosco que cuenta con el

Answer 3

algebraico no se, pero hay fórmulas en geometria analitica para ello, pero geometricamente el circuncentro se obtiene con el punto de interseccion de las tres mediatrices, el ortocentro se obtiene con el punto donde concurren las alturas y el baricentro se obtiene con el punto donde concurren las tres medianas

Answer 4

http://es.wikipedia.org/wiki/Baricentro
http://es.wikipedia.org/wiki/Ortocentro
http://es.wikipedia.org/wiki/Circuncentro