Comment montrer que l'ensemble des matrices (p,q) de rang q avec p>q est un ouvert ?

Question

peut etre faut il prouver que son complementaire est fermé !!

Answer 1

Une matrice (p,q) est de rang q (avec p>q) si et seulement si elle contient une sous-matrice carrée dont le déterminant est non nul.

L'ensemble des matrices dont une sous-matrice fixée à un déterminant non nul est un ouvert. En effet, c'est l'image réciproque d'un ouvert (R*) par l'application qui a une matrice associe le déterminant de cette sous-matrice qui est continue.

Au final, l'ensemble des matrices (p,q) de rang q est une union d'ensemble de ce type. C'est donc un ouvert.

Answer 2

tu montres dans le cas échéant que cet ensemble est un voisinage de tout ces points.ça veut dire que tu prends une matrice M verifiant les hypothèses précitées,et tu essayes de trouver un rayon vérifiant :la boule de centre M et de rayon r appartient à cet ensemble.
la topologie ça soule :s.

Answer 3

ah l'algèbre..une synécure.. bonne chance quand même