comment procède t on pour extraire la racine carre d'un nombre a la main sans calculette,merci?

Answer 1

Sois tu connais les grands classiques: 9,25,144,10000....... soit tu apprends la méthode existante. Moi j'ai préféré l'oublier tellement elle est difficile, cherche sur google je ne m'en rapelle plus, mais si elle ne t'est pas indispensable oublies la!


http://membres.lycos.fr/emauvais/idm/RadExtMan.htm c'est ça! Bonne chance.

Answer 2

Voici une méthode qui permet de trouver manuellement une racine carrée très rapidement, aussi précisément que l'on veut.

Par exemple: trouver la racine carrée de 23
1- On commence par choisir un nombre, si possible proche du résultat cherché. Par exemple, on peut prendre 5, puisque la racine carrée de 23 est entre 4 et 5. (Mais on peut aussi choisir un autre nombre de départ : la méthode marchera aussi)
2- On fait la moyenne de 5 et de 23/5 (On trouve 4,8)
3- On fait la moyenne de 4,8 et de 23/4,8 (On trouve 4,795833)
4- On continue ainsi, en faisant à chaque étape la moyenne de "dernier résultat trouvé" et de 23/"dernier résultat trouvé"

A chaque étape, on s'approche de la racine carrée exacte. On s'arrête dès qu'on estime avoir atteint la précision voulue.

Answer 3

si s'es un nombre donc la racine carre es bien connu comme par example 9 sa racine es 3 mais kan kan s'es les autres nombre s'es mieux d'elever l'equation au carre

Answer 4

exemple racine carrée de 529
Tu commences comme si tu faisais une division et tu écris 529 au dividende .
Tu sépares par tranche de 2 chiffres en commençant par la droite . Tu as donc 5.29
Tu cherches dans 5 le carré le plus proche . C'est 4
La racine de 4 est 2 .
Tu écris 2 au diviseur et tu tires un trait horizontal puis tu réécris ce chiffre sous le trait et tu le multiplies par lui même cela fait 4
Tu en lèves 4 à 5 , il reste 1
Tu abaisses le 29 et tu sépares le chiffre de droite .tu as donc 12.9
Tu retires un trait horizontal , tu doubles ce que tu as au diviseur et tu l'écris sous ce trait . En l'occurence cela donne 4 .
Tu cherches dans 12 combien de fois il y a 4 ( 3 fois )
Tu écris donc 3 à côté du 4 Tu as 43 que tu multiplies par ce dernier chiffre que tu viens de trouver 43 X 3
43 X3 =129 que tu enlèves à 129 il te reste 0
Ce 3 tu l'écris à la première ligne du dividende à côté du 2 et tu as ta racine : 23 reste 0
5.29 | 2
1 -- - | 2X2=4

5.29 | 2
12.9 | 2X2=4
-------| 43X3=129

5.29 | 23
12.9 |2X2=4
000 |43 x3= 129
Excuse-moi mais c'est très difficile à expliquer par écrit .

Answer 5

Trois algorithmes sont assez simples à programmer et ne demandent pas de gros calculs à la main.

* La méthode par dichotomie.
La fonction racine carrée est croissante sur R+ et donc a < x < b => rac(a) < rac(x) < rac(b). Si je cherche la racine carrée d'un nombre n il suffit donc de me placer entre a et a + 1 tel que a² < n < (a+1)². Je calcule ensuite le carré de a/2 ; s'il est plus grand que n alors rac(n) est compris entre a et a/2 et sinon entre a/2 et a+1. On réitère ce procédé jusqu'à la précision souhaitée.
A chaque itération on gagne une précision double (l'intervalle dans lequel se trouve n est d'amplitude divisée par deux à chaque fois). Si on commence avec un intervalle d'amplitude 1 (a et b entiers consécutifs) et que l'on désire une précision au millième près, on doit donc faire 10 fois ce procédé car 2 ^ 10 = 1024 > 1000.

* La méthode par approximation linéaire.
On note r la racine carrée de n (n > 0). Alors k est solution de l'équation du second degré x² - n = 0. On pose f(x) = x² - n. Alors par définition de r, on a r + Lf(r) = r pour n'importe quel L.
Si on pose maintenant la suite : Un+1 = Un + Lf(Un) ; r est un point fixe de cette suite récurrence et sera un point attracteur pour un L bien choisi. On doit en fait avoir 1 + Lf'(r) < 1 (le plus proche de 0 sera le mieux) ou f' est la fonction dérivée de f.
Dans le cas de la racine carrée ; voici l'algorithme :
1. On cherche une valeur assez proche (même grossière) de la racine carrée avec la méthode par dichotomie.
2. On trouve L tel que 1 + Lf'(r) soit très proche de 0 ; L = -1 / f'(r) où on utilise la valeur approximative de r trouvée en 1. Ici f'(x) = 2x et donc L = -1/(2*r).
3. On pose la suite définie par récurrence sur n :
u0 = r (valeur approchée trouvée par 1.)
uN+1 = uN + L(uN^2 - n). La suite converge vers la racinée carrée de n.

Exemple : calcul de racine carrée de 7.
2² = 4 < 7 < 3² = 9 ; r = 2 conviendra au début.
si r = rac(7), on a k² - 7 = 0 et on pose f(x) = x² - 7.
On cherche donc L tel que 1 + Lf'(r) soit minimal. L = -1/(2*2) = -1/4 convient d'après le calcul précédent.

Alors on pose U0 = 2 et Un+1 = Un - (Un^2 - 7)/4 ; la suite converge vite vers rac(7). Les trois premières décimales sont bonnes après la troisième itération ; les neuf premières après la dix-huitième itéation.

* La méthode de Newton (de loin le plus rapide).
1. D'abord on trouve une valeur approchée de la racine même très grossière par dichotomie.
2. Ensuite on pose g(x) = x - f(x) / f'(x) où f(x) = x² - n et f'(x) = 2x. On pose aussi la suite Un définie par récurrence par U0 = r (valeur approchée) et Un+1 = g(Un).
Alors la suite Un converge vers rac(n) et ceci très vite (on double le nombre de chiffres exacts à chaque itération).

Exemple : Calcul de Racine de 47.
6 est une bonne valeur pour U0 car 36 < 47 < 49.
La suite est Un+1 = Un - (Un² - 47)/2Un.
En calculant les termes de la suite (à la calculatrice mais ça se fait aussi bien à la main), on trouve :
U0 = 6
U1 = 6,9166...
U2 = 6,855923695
U3 = 6,855654606
Et les nombres suivants ne donnent pas de nouvelles décimales (la calculatrice est vite dépassée). On remarque la rapidité de la méthode. (Toutes ces décimales de U3 sont correctes jusqu'au 0)

Bilan : la première méthode est la plus simple à comprendre et ne demande pas un grand niveau en maths. Les deux autres utilisent des propriétés sur les suites récurrentes et les dérivées et il faut un niveau bien plus élevé pour bien les comprendre (elles m'ont été enseignées en maths sup).
Donc utilise la première méthode même si les autres sont beaucoup plus rapides ; de toute façon en maths, une fois qu'on sait que l'on peut avoir le résultat, on s'y intéresse peu :) !

Answer 6

On procède comme pour un division. Le nombre considéré est placé au lieu du dividende. le diviseur n'existe pas. et on sépare le dividende par chiffres deux deux en partant de la droite vers la gauche. On cherche alors la racine carré du premier couple ou du premier chiffre s'il n'y a qu'un seul. Le nombre trouvé multiplié par lui même ne doit pas dépassé le nombre en question . CE chiffre est porté au diviseur. et au cotions. On fait la soustraction de ce nombre x lui même et le chiffre qui reste est inscrit sous le premier couplet (il doit inférieur à celui-ci) . Ensuite,on abaisse le deuxième couplet derrière le reste et l'on se trouve avec trois chiffres.Au niveau du cotions on met un point derrière le premier radical trouvé et le signe multiplié et un point. Les deux points sont l'emplacement du chiffre par lequel on cherche par la multiplication à se rapprocher le maximum possible du dividende à trois chiffres. Quand on trouve ce chiffre,il est porté au diviseur et c'est le second radical; Ainsi on multiplie après avoir remplacé les points par le chiffre correspondant et on le soustrait comme la première fois du nombre à trois chiffre de tout à l'heure. derrière le reste on écrit le troisième couplé des deux chiffres et l'on procède de la même manière jusqu'à épuisement des couplets composant le dividende.

Answer 7

Avant les calculettes, on utilisait au collège la méthode de la potence , un peu laborieuse mais qui marche !

Voir la méthode sur le lien : http://trucsmaths.free.fr/js_racine.htm

et bon courage !