Chiedo la seguente dimostrazione (sottoproblema dell'Ultimo Teorema di Fermat)!!!?

Question

Per ogni x,y interi positivi e per ogni k,j = 1, 2, ... dimostrare che

x^n + y^n \= z^n con z^n = (9k + 3)

il segno \= sta per "non uguale"

nonostante la cosa sia apparentemente complicatissima (coinvolge una sottoclasse del problema dato nell'ultimo teorema di Fermat) vi dico che è semplicissimo dimostrarlo...

Provateci! vi do il massimo dei voti.

Suggerimento:

se riuscite a dimostrare quello che vi ho chiesto, allora dimostrerete facilmente anche questo

x^n + y^n \= z^n con z^n = (9k+ 6)

Answer 1

ok ci provo...
TEOREMA:
x,y € N, n>2 e k = {1, 2 , 3... }
segue che:
x^n+y^n != (9k+3)

DIMOSTRAZIONE:
La successione x_k= 9k+3 ha come valori iniziali (per k=1, 2,...):
12, 21, 30, 39, 48, 57, ...

In teoria basta solo dimostrare che la radice ennesima di (9k+3) non ammette soluzioni naturali. Da ciò segue la tua tesi.

Supponiamo di avere un m€N per cui vale m^n=9k+3. Allora deve valere:
m^n-3=9k
(m^n-3)/9=k

Visto che k€N+, allora m^n-3 deve essere divisibile per 9.
Cioè m^n-3= 0 (mod 9).
Ma ciò è possibile se m^n=3 (mod 9). Segue che quindi m = sqrt^n(3) (mod 9), ma ciò è possibile solo per n=1 perché sennò sqrt^n(3) non sarebbe intero e quindi nemmeno m (e non avrebbe senso fare l'ultima operazione).
Segue allora che non esiste nessuna m per cui vale m^n=9k+3.
CVD

Ciao!

Answer 2

Si vuole dim. che
x^n + y^n \= z^n con z^n = (9k + 3)
ossia
x^n + y^n != z^n con z^n = 3(3k + 1)
d'altronde
3k+1 non è divisibile per 3, infatti diviso per 3 da per resto 1
quindi se fosse z^n = 3(3k+1) avremmo che,
detto z = prod(pi primo) pi^z(i)
ossia espresso z come prod. di potenze di n. primi, rappresentazione che è UNICA per il teorema fondamentale dell'aritmetica, si avrebbe
z^n= prod(pi primo) pi^(nz(i))

Quindi otteniamo che l'esponente associato al 3 deve essere un multiplo di n, mentre abbiamo già osservato che è uguale a 1, essendo z^n = 3(3k+1) che è divisibile per 3 una volta sola.
Quindi otteniamo n=1, ossia ciò è possibile solo se l'equazione è lineare.
Per x^n + y^n \= z^n con z^n = (9k+ 6) valgono considerazioni analoghe, infatti (9k+ 6)= 3(3k+2) ove 3k+2 non è divisibile per 3 (diviso per 3 da per resto 2)
C.v.d.

Answer 3

Ah ecco...ieri avevi proposto una versione un po' più complicata ossia x^n+y^n=(9k+3)^n ed effettivamente non era per nulla semplice! Ora capisco perché hai cancellato la domanda! Dove interviene j? Lo introduci ma non lo usi mai! Devi poi aggiungere n>2 se no quanto affermi non è vero!

Aggiungo: il tuo enunciato non c'entra nulla col teorema di Fermat. Quanto chiedi tu è il seguente enunciato:

dimostrare che (9k+3)=z^n sse n=1 come ti è già stato fatto notare qui sopra!

Answer 4

Ma che hai mangiato per cena? Io a quest'ora non ho la lucidità necessaria neanche per ricordarmi come mi chiamo....ciao bella gioia.