logarithme d'une matrice ?

Question

pour mettre une matrice A sous la forme exp(ln(A)) ou bien ln(exp(A)) quels sont les definitions EXACTES de ces operations sur les matrices? quels sont les criteres pour que cette operation soit permise (valeurs propres srtictement positives apr exemple ?)

j'ai deja la definition de l'exponentiel, je cherche celle du logarithme!

par exemple, peut-on definir le log d'une matrice si toute les valeur propres ne sont pas >0 ? ou alors peut-on se placer dans l'ensemble des complexe et donc faire pivoter la coupure (rotation de wick) qui se trouve en [-inf;0;] de sorte que le log soit TOUJOURS definit ?

Answer 1

Soit une matrice carrée A telle que A = D^-1 L D
ou D est une matrice unitaire constituée des vecteurs propres
L est une matrice diagonale constituée des valeurs propres

Pour une exponentielle,
e(x) = x + x^2/2 +x^3/6 + ...
Par extension
e(A) = D^-1 L D + 0.5 (D^-1 ) L D (D^-1 L D) + ...
or D^-1 D = I
Par réarrangement:
e(A) : D^-1 (L +L^2/2 + L^3/6 + ...) D
e(A) : D^-1 (diag(e(lambda_i))) D

Idem pour le logarithme:
ln(A) = D^-1 (diag(ln(lamda_i))) D

La condition est que la décomposition A = D^-1 L D existe

CdM

Answer 2

l'application de la fonction logarithme ou exponentielle sur une matrice consiste à appliquer ces fonctions sur chaque élément de la matrice tout simplement.
Pour la fonction exponentielle aucun problème pour ln tu dois faire gaffe au domaine de definition.

Answer 3

En mathématiques, l'exponentielle d'une matrice est une fonction d'une matrice carrée semblable à l'exponentielle. De façon abstraite, elle fait le pont entre l'algèbre de Lie sur une matrice et le groupe de Lie qui lui correspond.

Soit X une matrice n×n, n réel ou complexe. L'exponentielle de X, notée eX ou exp(X), est la matrice n×n obtenue de la série:


Cette somme convergeant toujours, l'exponentielle est bien formée. Noter que si X est une matrice 1×1 (c'est-à-dire un scalaire), alors son exponentielle correspond à celle d'un nombre.

Soient X et Y deux matrices n×n complexes et soient a etb deux nombres complexes. La matrice identité est dénotée I, et la matrice nulle, 0. L'exponentielle d'une matrice possède ces propriétés :

e0 = I
eaXebX = e(a + b)X
eXe − X = I
Si AB = BA, alors eAeB = eA + B
Si Y est une matrice inversible, alors .
det(eX) = etr(X)
exp(XT) = (eX)T, où XT désigne la transposée de X. Il s'ensuit que si X est une matrice symétrique, alors eX est aussi symétrique, et que si X est une matrice antisymétrique, alors eX est une matrice orthogonale.
exp(X*) = (eX)*, où X* signifie le conjugué de la matrice transposée de X. Il suit que si X est une matrice hermitienne, alors que eX est aussi hermitienne, et que si X est une matrice antihermitienne, alors eX est une matrice unitaire