Una esfera uniformemente cargada tiene un potencial de 450V en su superficie?

Question

Una esfera uniformemente cargada tiene un potencial de 450V en su superficie. A una distancia radial de 20cm, el potencial es de 150V. ¿Cuál es el radio de la esfera y cuál su carga?

Answer 1

Te lo hare de una forma teorica :

Por ley de Gauss, podemos calcular el campo electrico ejercido a 20 cm de la esfera :

integral cerrada( E.dS) = Q / Eo

Supongamos que la esfera tiene carga Q = 4/3*(D)*R^3

D = Densidad volumetrica de carga

Porque la carga tiene ese valor ?, puesto que no es un conductor, la carga esta distribuida uniformemente en toda la superficie.

El campo electrico a una distancia r > R, sera :

E*4pir^2 = D*4/3pi*R^3 / Eo

E = D*R^3 / 3Eo*r^2

Sabemos que el potencial, o mejor dicho la diferencia de potencial para r > R, sera :

V = - integral(E.dr)

El potencial en el infinito es considerado 0, por lo tanto, el valor de V = 150 V

150 = -integral(D*R^3 / 3Eo*r^2)dr

150 = D*R^3 / 3Eo* (1/r), r = 20 / 100

150*20 / 100 = D*R^3 / 3Eo

90Eo = D*R^3 >>>>> (*)

El potencial de la esfera cargada, se calcula :

450 = 1/4piEo*(D*4/3*pi*R^3) / R

1/4piEo = constante

Operando : 1350Eo = D*R^2...(**)

Juntando : (*) y (**) :

90Eo = D*R^3

1350Eo = D*R^2

Dividiendo : 9 / 135 = R >>> valor del radio

En cm, el valor del radio sera : 6.6 cm >>> 0.066 m

Considerando : Eo = 8.85*10^-12

y con el valor del radio, podemos calcular " D" = 2.74*10^-6

Ahora, con el valor de D y R, podemos calcular la Carga :

Carga = 4/3*D*R^3 = 3.83*10^-10 (Coulombs)

Espero te sirva el procedimiento

Answer 2

Yo usaría directamente la fórmula que me da el valor del potencial de una esfera, es decir: V = k *q / r
con k = 9 exp(9) ( 9 por 10 a la novena)
q es la carga y
r la distancia al centro.

ahora (1) 150 V = k*q / (0.2 m)
además (2) 450 V = k*q / x

de la (1) obtienes, despejando q y calculando, el valor de q = 3.3 exp(-9) Coul (3.3 por 10 a la -9)

con este dato reemplazas en (2), despejas el radio x , así obtienes: x = 0.067m = 6.7 cm.

Soluciones: q = 3.3 exp(-9) Coul y radio esfera. = 0.067m = 6.7 cm


Chau