Un disco de radio R posee una densidad de carga +σo para r < a?

Question

Un disco de radio R posee una densidad de carga +σo para r < a y una densidad de carga igual pero de signo opuesto, - σo, para a < r < R. La carga total existente sobre el disco es cero. A) Determinar el potencial a una distancia x a lo largo del eje del disco. B) Obtener una expresión aproximada para V(x) cuando x>>R.

Answer 1

Ok, aqui te piden a lo largo del " eje ", entonces aqui no cabe aplicar la Ley de Gauss, primero te calculare el potencial en el eje de un anillo, por que ?, porque teniendo el potencial en el eje del anillo, es facil calcular integrando, el potencial en el eje de un disco.

Para un anillo :

dq = L*dl

L = densidad lineal de carga :

Potencial en el eje : K*dq / r

Dibujando el anillo, y el eje, nos daremos cuenta que la distancia de un diferencial de carga del anillo, hacia un punto del eje, sera :

raiz(R^2 + x^2)

Potencial : 1/4pi*Eo*integral((L*dl) / raiz(R^2 + x^2))

Potencial : 1/4pi*Eo.L*2pi*R / raiz(R^2 + x^2)

Nota : integral de dl = 2pi*R, porque es todo el recorrido del anillo.

Potencial : L*R / raiz(R^2 + x^2)

Teniendo el potencial del anillo, ahora calcularemos del disco, el diferencial de carga del disco sera :

dq = +σo*2pi*rdr, aqui viene el truco

Como hay dos valores de densidad de carga +σo y - σo

Entonces para calcular el potencial en el eje, utiliza +σo e integra de 0 a " a " y luego usas -σo e integras de " a " a " R"

Asi mira :

Potencial = 1/4pi*Eo*+σo*integral(2pir*dr / raiz(r^2 + x^2))

+ 1/4pi*Eo*-σo*integral(2pir*dr / raiz( r^2 + x^2))

Entonces tendras una resta de integrales :

1/4pi*Eo*+σo*integral(2pir*dr / raiz(r^2 + x^2)) de 0 a "a"

- 1/4pi*Eo*σo*integral(2pir*dr / raiz( r^2 + x^2)) de "a" a "R"

Entonces, integrando :

1/4pi*Eo*σo*pi(raiz(a^2 + x^2) - x) -

1/4pi*Eo*-σo*pi(raiz(R^2 + x^2) - raiz( x^2 + a^2))

Simplificando :

σo / 2Eo*(raiz(x^2 + a^2) - x) - σo/2Eo*(raiz(R^2+x^2) - raiz( x^2 + a^2)) = V(x)

Eso es lo que me sale. Espero te sirva la respuesta, volvere luego para revisarlo, pero esta bien, date cuenta que es una suma de integrales.

A ver, ya regrese, me di cuenta de algo :

V(x) = σo / 2Eo(2*raiz(x^2+a^2) - x + raiz(R^2 + x^2))

Ahora, tenemos en la parte b), x >> R, yo interpreto esto como que si "x" es mucho mayor que R, R es demasiado pequeñito, entonces R^2 = 0, ya que si R es muy pequeño, R^2 es mucho mas pequeñito.

V(x) = σo / 2Eo(2raiz(x^2+a^2) - x + raiz(x^2))

V(x) = σo / 2Eo(2raiz(x^2 + a^2) - x + x ))

V(x) = σo / 2Eo(2raiz(x^2 + a^2))

Pero, si "R" es muuuuy pequeño, "a" sera mucho mas pequeño. Entonces a^2 = 0

Para x >> R :

V(x) = σo / 2Eo(2x) = (σo / 2Eo)*X.

Esa ultima respuesta revisala, tu sabes que uno puede haberse equivocado, pero pienso que esta bien.

Suerte.