Por favor agradecería que me explicaran este problema de aplicación de funciones?

Question

Una fígura está formada uniendo dos semiesferaas a los extremos de un cilindro circular recto. El volumen de la fígura ha de ser de 12 pulgadas cúbicas. Hallar el radio del cilindro que minimiza el area de la figura

Answer 1

Ok, tenemos dos semiesferas cuyos extremos serian las alturas del cilindro circular recto.

Como asi ?

Dibuja el cilindro y toma diametro cada una de las bases del cilindro, sobre ese diametro dibuja la semi - esfera.

Ahora, dibuja otra semiesfera tomando diametro la otra base del cilindro.

El cilindro tiene radio "r" y las semi esferas tienen radio " r " tambien

El cilindro tiene altura "h"

Volumen total = Volumen de cilindro + volumen de las semiesferas.

Volument total = pi*r^2*h + 4/3*pir^3 / 2 + 4/3pi*r^3 / 2

Volumen total = pi*r^2*h + 4/3pi*r^3

por dato, volumen total = 12

12 = h*pi*r^2 + 4/3r^3*pi = V(r)

12 / pi*r^2 = h + 4/3*r

h = 12 / pi*r^2 - 4/3*r

El area de la figura :

Area total de las semiesferas + Area total de un cilindro :

4*pi*r^2 / 2 + 4*pi*r^2 / 2 + 2*pi*r(r+h) = A(r)

4*pi*r^2 + 2pi*r( r + 12 / pi*r^2 - 4/3*r ) = A(r)

4*pi*r^2 + 2pi*r( 12 / pi*r^2 - r/3 ) = A(r)

4*pi*r^2 + 24 / r - 2pir^2 / 3 = A(r)

Aplicando el criterio de la primera derivada, para hallar el punto critico.

dA / dr = 0

8*pir + 24(-1)*r^-2 - 4pir / 3 = 0

8pi*r - 24 / r^2 - 4pi*r / 3 = 0

8pi*r^3 - 24 - 4pi*r^3 / 3 = 0

20pi*r^3 / 3 = 24

18 / 5 = pi*r^3

r = raiz cubica( 18 / 5pi )

Ese seria el valor del radio para minimizar el area.

Con el volumen se saca "h" en funcion de "r".

Y al area total en funcion de "r" se le aplica el criterio de la primera derivada.

Espero te haya servido el procedimiento

Answer 2

Sea L el largo del cilindro, r el radio del cilindro y también de las semiesferas
V = L(Pi)r^2 +4Pir^3/3
12 = L(Pi)r^2 +4Pir^3/3

A = 2PirL + 4 pi r^2
como
12 = L(Pi)r^2 +4Pir^3/3
L(Pi)r^2 = 12 - 4Pir^3/3
L = (12 - 4Pir^3/3)/(Pi)r^2)
sustituimos L en la fórmula del Area
y nos queda
A = 2Pir((12 - 4Pir^3/3)/(Pi)r^2)) + 4 pi r^2
A = 2((12 - 4Pir^3/3)/r)) + 4 pi r^2
(si quieres puedes simplificar la función)
Ahora derivas A con respecto a r, igualas a cero la derivada, y obtienes el valor mínimo, y voilá