Exerice sur les sous groupes?

Question

je n'arrive pas a répondre a mon exercice :

Soient (G, *) un groupe, et H, K deux sous-groupes de G.
On note HK = {x [appartien à] G [tel que] [il existe] (h, k) [appartenant à]] H x K, x = h*k}

question :
montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
a) HK est un sous groupe de G
b) KH est un sous groupe de G
c) HK = KH

sachant qu'a la question d'avant on a démontrer que :
x [appartient a] HK <=> x^(-1) [appartient a] KH

merci pour votre aide :)

Answer 1

Il faut montrer que a) => b) => c) => a)

a) => b)
On suppose HK sous groupe de G
Pour montrer que KH sous groupe, il faut montrer que pour tout x et y dans KH, x*y^(-1) est dans KH
Par la remarque précédente : il suffit de montrer que y*x^(-1) appartient à HK
x appartient à KH donc x^(-1) appartient à HK
y appartient à KH donc y^(-1) appartient à HK mais comme HK groupe : y appartient à HK.
Alors y*x^(-1) appartient à HK et donc x*y^(-1) appartient à KH

b) => c)
On suppose KH sous groupe
soit x appartenant à HK, alors x^(-1) appartient à KH mais KH groupe donc x appartient à KH
J'ai montré que HK inclu dans KH
soit x appartenant à KH alors x^(-1) appartient à KH car KH groupe et donc x appartient à HK par la question d'avant.
J'ai montré KH inclu dans HK d'où l'égalité.

c) => a)
On suppose HK = KH
Soit x et y dans HK, il faut montrer que x*y^(-1) est dans HK
x = h*k et y = h'*k'
x*y^(-1) = h*k*(k')^(-1)*(h')^(-1)
x*y^(-1) = h * k" *(h')^(-1) avec k" = k*(k')^(-1) dans K car K groupe
x*y^(-1) = k'" * h" * (h')^(-1) car h * k" = k'" * h" puisque HK = KH (avec k"' dans K et h" dans H)
x*y^(-1) = k"'*h"' avec h"' = h" * (h')^(-1) appartient à H car H groupe.
Donc x*y^(-1) appartient à KH. Mais KH = HK donc x*y^(-1) appartient à KH.

CQFD

PS : pour la question précédente, j'ai répondu à ta remarque.