besoin d'aide pour un exercices sur les sous-groupes?

Question

je n'arrive pas a répondre a la première question de mon exercice :

Soient (G, *) un groupe, et H, K deux sous-groupes de G.
On note HK = {x [appartien à] G [tel que] [il existe] (h, k) [appartenant à]] H x K, x = h*k}

1- Soit x [appartien à] G, Montrer que x [appartien à] HK <=> x^-1 [appartien à] KH


si je pouvais avoir un peu d'aide... merci :)

Merci pour ta réponse !
mais il n'y a qq chose que je ne comprend pas


"Dans G : x est inversible alors x^(-1) = (hk)^(-1) = k^(-1)*h^(-1)"
pourquoi :
(hk)^(-1) = k^(-1)*h^(-1) et pas
(hk)^(-1) = h^(-1)*k^(-1)

Answer 1

C'est pas difficile : faire une double inclusion.
(=>)
On suppose x appartient à HK.
Soit alors h dans H et k dans K tel que x = hk
Dans G : x est inversible alors x^(-1) = (hk)^(-1) = k^(-1)*h^(-1)
Comme H et K sont des groupes k^(-1) apparient à K et h^(-1) à H
Donc x^(-1) = k'h' avec k' appartient à K et h' à H : x^(-1) appartient à KH.

(<=)
On suppose x^(-1) apparient à KH
Soit alors h dans H et k dans K tel que x^(-1) = kh
Dans G : x^(-1) est inversible alors x^(-1)^(-1) = x = (kh)^(-1) = h^(-1)*k^(-1)
Comme H et K sont des groupes k^(-1) apparient à K et h^(-1) à H
Donc x = h'k' avec k' appartient à K et h' à H : x appartient à HK.

CQFD

Concernant ta remarque : pourquoi (h*k)^(-1) = k^(-1)*h^(-1) et pas h^(-1)*k^(-1) ?
Petit rappel : l'inverse de a est b tel que ba = ab = e (élément neutre)
k^(-1)*h^(-1)*h*k = k^(-1)*e*k = k^(-1)*k = e
et h*k*k^(-1)*h^(-1) = h*e*h^(-1) = h*h^(-1) = e
donc l'inverse de h*k est k^(-1)*h^(-1)
alors que h*k*h^(-1)*k^(-1) n'a pas de raison de valoir e sauf si le groupe est commutatif.