Pour quelle valeur de N une hypersphere de dim N le volume est il maximum?

Question

A rayon constant, cela va sans dire :-)

oulah ya un problem de langue francaise, je reformule donc correctement:
Pour quelle valeur de N l'hypervolume dune hypershpere de dim N est til maximum?
N varie, le rayon R est constant
(Indice: V(N) tends vers 0 quand N tends vers +∞)

bon decidement javais oublie de preciser une hypersphere de rayon 1; mais bon que des bonnes reponses :-)

Answer 1

Bonne réponse de Gianlino

N=5 pour R=1

On peut interpréter cette propriété en visualisant un cube dont les faces sont tangentes à une sphère. Lorsque la dimension augmente il y a de plus en plus de faces dans l'hypercube et le cube se transforme en "oursin" avec des coins qui prennent de plus en plus d'importance. Le volume d'hypercube de côté 1 est toujours égal à 1 mais le volume de la sphère tangente tend vers 0.
Peut-être serait il plus judicieux de prendre un diamètre égal à 1 plutôt qu'un rayon.

Il serait aussi intéressant d'interpréter le fait que N=5 correspond à quelque chose de concret, par exemple dans le cadre de la théorie du codage..
Si on interprète la sphère comme la zone de bruit autour d'un signal, le fait que le volume soit maximal fait craindre que ce soit un code à éviter , non ?

Answer 2

2*π*R**2 - 1

Answer 3

Ça va dépendre du rayon. Pour les dimensions impaires on a la formule de récurrence V_{2p+1}= 2 pi V_{2p-1} R^2 /(2p+1).
Donc pour (2p+1) > 2 pi R^2, ça redescend. Pour les paires on a V_{2p}= pi^p R^(2p) / p!. pour p> pi R^2 ça redescend. En fonction de $R$ on trouve facilement les dimensions paires et impaires qui sont maximales. Pour décider entre les deux c'est plus compliqué. Il faut faire le calcul exact. Ce qui compte c'est que le rayon et la dimension sont par une relation d >< 2pi R^2.
Pour R=1 on a les volumes 2, pi, 4pi/3, pi^2/2, 8pi^2/15, pi^3/6 etc. Donc le maximum est atteint pour d=5.