¿qué es mas grande, los números naturales o los números enteros?

Question

¿Se puede determinar esto? ya que ambos son infinitos...

Answer 1

Ninguno de los dos, ambos conjuntos tienen el mismo tamaño. Vamos a ver por qué: Los Números Naturales N son números definidos de forma recursiva, donde el primer número es 1 y cada número mayor que 1 está definido como el anterior mas 1. Los Números Enteros Z está definidos como N unido con sus opuestos y el cero.

Lo que nos resulta algo como:

N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,...,n,n+1,...}

Z = {...,-n+1,n,...,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...,n,n+1,...}.

Luego, dos conjuntos A,B tienen el mismo tamañano si son equipotentes, es decir, si existe una función biytectiva F : A->B. Luego, consideremos la siguiente función por partes:

F : N->Z, definida así:

F(n) = n/2 - 1, Si n es par
F(n) = -(n+1)/2 - 1, Si n es impar.

Así, F es una biyección y por lo tanto N es equipotente con Z y por lo tanto tienen el mismo tamaño.

Answer 2

Los dos son igual de grandes ya que para cada número entero puedes asignar un número natural. Es decir, si representamos los números en una recta, cada punto de la recta que serían los números enteros podemos relacionarlo con un punto de la semirecta que serían los naturales.

Sin embargo no todos los infinitos son igual de grandes. Ya que si comparmos una recta y un plano nos damos cuenta de que no podemos establecer esta relacion entre cada punto del plano y los de una recta. Por lo que el infinito número de puntos en un plano es mayor que el infinito número de puntos de una recta.

Answer 3

Esta pregunta es interesantísima. La respuesta, como ya muchos lo han dicho, es que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad (i.e., ambos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos), a pesar de que N es un subconjunto propio de Z.

La razón de que ocurra esta situación, es que ambos conjuntos son numerables y equipotentes. Como ya lo han explicado, esto se puede demostrar construyendo una función biyectiva que enlaze a ambos conjuntos. La función que se propone normalmente es:

f: N ---> Z tal que f(n) = n/2 si n es par; f(n)= -(n+1)/2 si n es impar.

Se demuestra que la función f es inyectiva (i.e., que si f(a)=f(n) entonces a=b) y que es suprayectiva (i.e., que para todo z elemento de Z existe un n elemento de N tal que f(n)=z ), y entonces se llega a que existe una biyección entre N y Z mediante f, y por lo tanto ambos conjuntos son equipotentes (i.e., tienen la misma cardinalidad).

También es posible demostrar, por ejemplo, que existen tantos números pares como números naturales (o tantos múltiplos de 3, o de 5, o de n), o que existen tantos números primos como naturales. En general, para cualquier conjunto A que sea infinito y numerable, se puede construir una función biyectiva f: N -> A, de modo que se llega a que A es equipotente con N.

Todas estas afirmaciones están sostenidas fírmemente por la lógica, aunque a primera vista parezcan contradicciones (y es que, ¿que persona que guste del fino arte de hacer matemática no se queda perpleja al observar que un conjunto que podríamos pensar que tiene la mitad de elementos que otro, en realidad tiene la misma cantidad?). Este tipo de cuestionamientos son los que hacen amar a las matemáticas (aunque suene exagerado).

Saludos.

Answer 4

Los dos conjuntos tienen la misma cardinalidad, basta con tomar la siguiente funcion de los enteros a los naturales

f(n)= 2*n+1, si n es mayor o igual que cero;
f(n)= -2*n, si n es menor estricto que cero;

Es facil demostrar que esta funcion es biyectiva, lo que quiere decir que a cada numero entero le corresponde un numero natural y que cada numero natural le va a corresponder un numero entero en el dominio (los enteros).

Answer 5

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Answer 8

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Answer 9

Ambos son iguales, se dice que su cardinalidad es "alef sub-cero". Los numeros reales, aunque tambien son infinitos tienen una cardinalidad mayor (La cardinalidad es el numero de elementos) y se dice que su cardinalidad es "alef sub-uno" y, aun hay conjuntos numericos más grandes que los numeros reales, por ejemplo los numeros complejos, los numeros de ramsey, de malho etc, etc.
Soy estudiante de Matemática Pura.

Answer 10

es una pregunta interesante la tuya..........
ese es un tema de las matemáticas de los mas complejos, así que la verdad es que no entiendo mucho, pero, de hecho, contrario a lo que uno pueda falsamente razonar (los naturales son un subconjunto de los enteros y por esto debe haber menos), en realidad hay tantos numeros naturales como enteros. esta magnitud (si es que se le puede dar una magnitud al infinito) se designa como "Alef 1". De hecho hay tambien alef2, alef3, y así sucesivamente, hasta que al final se llega a un infinito absoluto al que se le conoce como "Continuo". como ya te dije, este es un tema muy interesante de la matematica, pero esto es lo mas que te puedo decir...... en todo caso, si te interesa saber más busca acerca de los matemáticos David Hilbert y Georg Cantor, que fueron los que empezaron con la idea de diferenciar las magnitudes de infinitos.