x matematici VERI?

Question

Mi commentate questa frase, l'ho trovata su wikipedia e non la comprendo in pieno:
(omissis).. la teoria delle varietà differenziali (...) trova innumerevoli applicazioni anche nella matematica pura, grazie alle interconnessioni con altre branche quali la topologia e la teoria dei numeri
Mi sapete dire quali sono (almeno qualcuna!) le interconnessioni tra la topologia e la teoria dei numeri in cui sono utili le varietà differenziali?
Sto cercando di approfondire le mie conoscenze (molto scarse) su spazi topologici e spazi di hilbert e (presumo) mi servirebbe per organizzarmi un po' il lavoro...
La matematica è cosi vasta, per ogni argomento che studio si aprono davanti altre 100 branche che non conosco !!

La pagina da cui ho estratto la frase è:
http://it.wikipedia.org/wiki/Variet%C3%A0_differenziabile

Visto che la foto era proprio brutta l'ho cambiata.. non che io sia bello!!
Però se visitate la mia pagina 360 c'è mio figlio di 6 mesi che è BELLISSIMO!!

Scusa ivmancini, mi puoi dare solamente il link del testo che hai incollato? Cosi ho il testo completo!
Però mi interessava non tanto la definizione dei vari spazi ma la connessione con la teoria dei numeri...

ivmancini non fa niente, l'ho trovato da solo il link : http://www.caressa.it/pdf/svt.pdf
bastava una riga invece di tutto quel malloppo!

Ciao super_al, non credevo qualcuno mi avesse notato qui :-)
Questa è più recente... ma perché non le mettete tutti le foto???

Artist, sei troppo forte... senti, ma centrano qualcosa le curve ellittiche con gli schemi di cui parli?

Answer 1

Sono teorico dei numeri di professione : la teoria dei numeri è cosa vastissima! Quella che comunemente viene chiamata teoria algebrica dei numeri utilizza in gran parte gli strumenti dell'algebra commutativa (e non) e della geometria algebrica! Più che di "varietà" nel linguaggio di oggi si parla di schemi. Che c'entrano gli schemi con la teoria dei numeri? Beh uno dei problemi che si pone un teorico dei numeri è quello di cercare punti K-razionali (con K campo, meglio se di caratteristica positiva e comunque in genere non C) appartenenti a curve, superficie ecc. e quindi, più in generale a schemi! Che c'entra la topologia con la teoria dei numeri? Beh c'entra in tanti modi e in tante salse! Ad esempio gli schemi di cui parlo sopra sono in particolare spazi topologici secondo una topologia detta di Zariski. Tale topologia ha però pochi aperti così Grotendieck si è inventato le topologie dette di Grothendieck appunto che non sono vere e proprie topologie ma ne fanno benissimo le veci. Se vuoi riferimenti bibliografici fammi sapere.

Volendo si: una curva ellittica non è altro che una curva C di genere 1 "puntata" ossia sulla quale ammettiamo l'esistenza di almeno un punto K-razionale per K campo opportuno. Una curva C non è altro che uno schema di dimensione 1 e un punto su C non è altro che un morfismo f: Spec K ----> C dove Spec K ....beh qui i discorsi si fanno lunghi....ma visto che K è un campo ti va di lusso e Spec K è un punto...ossia l'insieme {p} con p un punto = insieme di un elemento!!! Quanto al genere...beh...per farla breve se K=complessi la tua curva C può essere vista come un toro a N buchi. N equivale al genere e dire che ha genere 1 equivale a dire che tale toro ha un unico buco. Oggi giorno parte dello studio delle curve ellittiche utilizza gli strumenti offerti dalla teoria degli schemi.

x la cronaca: Spec K è l'esempio più semplice di SCHEMA che esista sul pianeta terra.

Answer 2

Noooooooooo, Gaetano rimetti la tua foto!!!!!!! Non che quella non la sia, ma ormai Gaetano aveva quella foto!!!!!!!

Answer 3

non sono proprio un matematico vero, diciamo più un matematico apprendista, ti rispondo ugualmente ;)

http://it.wikipedia.org/wiki/Congettura_di_Poincar%C3%A9

nasce all'inizio del 900 e riguarda le varietà, vedi un po. non so ora la ricerca a che punto sia ma all'inizio della topologia c'era questo problema e in parte c'è ancora.

cerca su google "Fragments of geometric topology from the sixties" io gli ho dato uno sguardo sembra interessante, fammi sapere ;)

Answer 4

Non sono Paul Erdős e in matematica prendevo sempre brutti voti. Ma sono una coraggiosa! E almeno so chi era Paul Erdős.
Quindi, largo alla fantasia.
La topologia analizza le proprietà di figure geometriche sottoposte a deformazioni continue, le relazioni tra cose, luoghi e persone.
Si interconnette con la teoria dei numeri nella sua applicazione geometrica (Teoria geometrica dei numeri).
Le varietà differenziabili (o differenziali), c'entrano nei termini di geometria differenziale.
Oddio che vergogna, la finisco qui.

P.S. Bellissimo bimbo, complimenti a te e alla mamma!

Answer 5

ma quello nella foto chi è?? hai un bimbo??
cmq mi spiace ma nn so aiutarti, anzi, grazie x questa cosa che nn sapevo! la teoria dei numeri è una branca che mi piace molto, mentre la topologia decisamente no!! nn sapevo ci fosse un legame cmq...
ciao!

Answer 6

purtroppo per rispondere a questa domanda dovrei sapere tre cose fondamentali: cos'è la topologia, la teoria dei numeri e le varietà differenziali.
Se le sapessi ti risponderei..

Answer 7

Capitolo 8
SPAZI VETTORIALI TOPOLOGICI
Gli spazi di Hilbert e Banach hanno come esempi principali gli spazi di funzioni
sommabili e gli spazi di funzioni continue: tuttavia esiste un'altra classe
di spazi vettoriali molto importanti in Analisi, gli spazi di funzioni dierenziabili,
per i quali non e possibile trovare una struttura hilbertiana o di
Banach. Per ovviare a questo inconveniente di solito si considerano sottospazi
di questi spazi che siano di Hilbert, ad esempio nella teoria delle equazioni a
derivate parziali si considerano gli spazi di Sobolev. Tuttavia e possibile dare
una teoria per spazi vettoriali topologici non di Banach, i cui esempi sono
gli spazi delle funzioni dierenziabili: la teoria della dualita di questi spazi
conduce al concetto di distribuzione, che generalizza quello di funzione e di
misura.
8.1 Topologie e seminorme
Gli spazi di Hilbert e, piu in generale, gli spazi normati, sono al tempo stesso
spazi vettoriali e spazi topologici, e la loro struttura vettoriale e compatibile
con quella topologica, nel senso che le funzioni di somma fra vettori e
moltiplicazione per uno scalare sono continue; questo suggerisce la seguente
denizione:
Denizione 8.1.1 Se X e uno spazio vettoriale sul campo ssato1 K e T una topologia sull'insieme X, la coppia (X; T ) si dice uno spazio vettoriale
topologico se le applicazioni di addizione e prodotto per uno scalare sono
continue.
Una base U0 di intorni dell'elemento zero 02X gode delle proprieta seguenti
1Per noi il campo K sara sempre C o R.
238
8.1. Topologie e seminorme 239
(1) U0 determina la topologia di X: infatti se x0 2 X, la continutita della
somma implica immediatamente che fx0+UjU2U0g e una base di intorni
di x0, ovvero, la traslazione per un certo vettore di un intorno dello zero
fornisce un intorno del vettore dato.
(2) Ogni intorno dello zero U 2 U0 e un insieme assorbente, il che signica
che
8x 2 X 9k 2 R n f0g kx 2 U
il che segue immediatamente dalla continuita del prodotto per uno scalare.
e ovvio che possiamo scegliere una base U0 di intorni dello zero di X tale che
ogni suo elemento sia un insieme equilibrato, vale a dire tale che
8U 2 U0 8k 2 R jkj  1 ) kU  U
Denizione 8.1.2 Uno spazio vettoriale topologico di dice localmente convesso
se esiste una base U0 di intorni dello zero convessi, cioe tali che
8U 2 U0 8x; y 2 X 8a; b 2 R+ a + b = 1 ) ax + by 2 U
Una conseguenza immediata di questa denizione e che in uno spazio localmente
convesso esiste sempre una base di intorni dello zero convessi ed
equilibrati.
Finora gli unici esempi che conosciamo di spazi vettoriali topologici sono
gli spazi normati, nei quali la topologia e indotta da una metrica; vedremo
fra breve tuttavia degli esempi di spazi vettoriali topologici non normati: gli
spazi delle funzioni dierenziabili.
In generale, se F(S) e un insieme di funzioni da un insieme qualsiasi S in
R o C munito di somma e prodotto per scalari deniti punto per punto, la
stessa base di intorni rende F(S) uno spazio localmente convesso.
In generale uno spazio vettoriale topologico non e di Hausdor (lo sono
certamente gli spazi normati, perche metrizzabili):
Proposizione 8.1.3 In ogni spazio vettoriale topologico X esiste un sottospazio
X0 tale che
(1) Ogni intorno non vuoto di un punto x 2 X contiene l'insieme x + X0.
(2) Lo spazio quoziente X=X0 (con la topologia quoziente2 e di Hausdor.
Dimostrazione: Deniamo
X0 := \ U2U0
U
240 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici
come intersezione degli intorni (non vuoti!) dello zero; allora X0 e ovviamente
(per continuita delle operazioni di somma e prodotto) un sottospazio di X
che verica la (1).
Se x; y 2 X=X0 deve esistere un intorno U  X=X0 dello zero che non
contenga x􀀀y e, per continuita della somma, deve quindi esistere un intorno
V  X=X0 dello zero tale che V 􀀀 V  U: allora x + V e y + V sono intorni
disgiunti che contengono x e y.
qed
Se la topologia di uno spazio vettoriale topologico e indotta da una distanza
d(x; y), allora possiamo denire la funzione q : X 􀀀! R+ come
q(x) := d(0; x)
osserviamo che in questa situazione lo spazio e certamente separabile (si
sfrutta la densita di Q+ in R+).
Un'altra osservazione immediata e che se la funzione q determina la
metrica, cioe se vale la
8x; y 2 X d(x; y) = q(x 􀀀 y)
allora la funzione q e simmetrica, subadditiva e non degenere, cioe verica le
relazioni
(Q) q(x) = q(􀀀x) q(x + y)  q(x) + q(y) q(x) = 0 ) x = 0
Viceversa, se X e uno spazio vettoriale topologico metrizzabile e q : X 􀀀! R
una funzione soddisfacente alle relazioni (Q) e tale che d(x; y) = q(x 􀀀 y)
per una distanza che induca la topologia di X allora q si dice quasinorma
compatibile per X.
Denizione 8.1.4 Uno spazio vettoriale topologico localmente convesso, metrizzabile
e completo si dice spazio di Frechet.
L'esempio principale e quello degli spazi di funzioni dierenziabili; le topologie
che vi introdurremo sono denite in termini di seminorme.
Osserviamo che la denizione di seminorma, di funzionale di Minkowski
ed il teorema di Hahn{Banach che abbiamo discusso nel capitolo precedente
valgono per ogni spazio vettoriale reale (o complesso), quindi possiamo darle
per uno spazio vettoriale topologico.
Se S e una famiglia di seminorme in uno spazio vettoriale X, possiamo
considerare la topologia T (S) generata dalla sottobase di aperti
Up;"(x) := fy 2 X j p(x 􀀀 y) < "g
8.1. Topologie e seminorme 241
al variare di x2X, p2S e " > 0. Si dice che S e una sl sottobase di seminorme
per X.
Osserviamo che
Proposizione 8.1.5 La topologia T (S) su X e di Hausdor se e solo se
8x 2 X 8p 2 S p(x) = 0 ) x = 0
Denizione 8.1.6 Se X e uno spazio vettoriale topologico la cui topologia
coincida con T (S), l'insieme S si dice base di seminorme per X se
(1) Per ogni p 2 S,  2 R+: p 2 S.
(2) Per ogni p1; p2 2 S esiste p 2 S tale che
8x 2 X p1(x)  p(x) e p2(x)  p(x)
Teorema 8.1.7 X e uno spazio vettoriale localmente convesso se e solo se
e uno spazio vettoriale topologico la cui topologia sia denita da una base
di seminorme ed e di Hausdor. Se S e S0 sono basi di seminorme per le
topologie T e T 0 su X allora la topologia T 0 e piu ne di T se e solo se ogni
seminorma di S e maggiorata da qualche seminorma di S0.
Dimostrazione: Osserviamo intanto che se S0 e una famiglia di seminorme
l'insieme dei multipli positivi delle somme nite di elementi di S0 e una base
di seminorme per T (S0). ora sia S una base di seminorme; una base di intorni
dello 0 2 X e data dagli aperti
US(0) := fBpgp2S
ove Bp := fx 2 X j p(x) < 1g. Ovviamente si tratta di una base di intorni,
e, per ogni x; x0 2 X, ; 0 2 R e p 2 S:
p(x 􀀀 0x0)  jjp(x 􀀀 x0) + j 􀀀 0jp(x0)
il che prova che la topologia denita da US(0) rende X uno spazio vettoriale
topologico, localmente convesso perche le p sono seminorme.
Viceversa, se X e localmente convesso e U(0) e una base invariante per
omotetie di intorni dello 0 convessi ed equilibrati, i funzionali di Minkowski
S := fpBgB2U(0)
242 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici
sono ovviamente una base di seminorme per la topologia di X perche gli
elementi di U(0) sono aperti e x 2 B () pB(x) < 1.
Dimostriamo la seconda parte del teorema: che la condizione sia suciente
e ovvio. Ma T e meno ne di T 0 se e solo per ogni intorno convesso equilibrato
dello zero U 2 T contiene un intorno convesso equilibrato dello zero U0 2 T 0,
sicche
pU0(x) < 1 ) pU(1) < 1
Per ogni " > 0 si ha allora che pU((pU0(x) + ")􀀀1x) < 1 e quindi
8x 2 X pU(x) < pU0(x) + "
Per arbitrarieta di " si ha che pU  pU0 .
qed
Se
 Rn e un aperto, lo spazio vettoriale C1(
) delle funzioni innitamente
dierenziabili su
e uno spazio vettoriale topologico, la cui topologia
e indotta dalle seminorme
pKi(f) := max
x2K j@if(x)j
ove K 
e un compatto e i = (i1; :::; ih) un multiindice rispetto al quale si
eettuano le derivate parziali che gurano nella denizione (cioe si deriva ik
volte rispetto alla variabile xk).
Teorema 8.1.8 Lo spazio C1(
) e di Frechet.
Dimostrazione: Dimostriamo che la topologia di C1(
) e indotta da una
famiglia numerabile di seminorme. Sia
Km := x 2
j d(x; @
) 
1
m
e d(x; 0)  m
Ovviamente Km e compatto, Km  o 􀀀! Km+1 e Sm Km =
. Deniamo le
seminorme
pm(f) := sup
x2Km
sup
jijm j@if(x)j
Se K 
e un qualsiasi compatto allora la funzione (x) := d(x; @
) e
continua e positiva su K, dunque ha un minimo 0 su K; analogamente la
funzione
(x) = d(x; 0) assume un massimo
0 su K. Allora scegliamo m in
modo che
1
m
< 0 e
0 < m
8.1. Topologie e seminorme 243
Con questa scelta di m si ha che Km  K e, se jij  m, la seminorma pK;i e
maggiorata da pm. Che poi ogni seminorma pm sia maggiorata da Pm
i=0 pKm;i
e ovvio.
Quindi la topologia di C1(
) e generata dalle fpmg, ed in particolare lo
spazio e metrizzabile.
Ora proviamo che C1(
) e completo. Se ffng e una successione di Cauchy,
il che signica che e di Cauchy rispetto a qualsiasi seminorma pm che
genera la topologia di C1(
). Ma allora la restrizione di ffng a Kn e una
successione di Cauchy di funzioni denite sul compatto Km: ora sfruttiamo
il fatto che lo spazio delle funzioni dierenziabili C1(K) su un compatto
K  Rn e di Banach rispetto alla norma
jjfjjC1 := sup
x2K
sup
i j@if(x)j
come si constata facilmente (la convergenza in questo spazio e la convergenza
uniforme della f e di tutte le sue derivate parziali). Dunque esiste una
funzione Fm 2 C1(K) alla quale la successione ristretta a Km converge. Per
denizione di Km le funzioni Fm cos denite coincidono sulle intersezioni
Km \Kl e quindi inducono una funzione F 2C1(
) tale che, per denizione,
lim
n􀀀!1
pm(fn 􀀀 Fm) = 0
qed
In C1(
) e contenuto lo spazio C1c (
) delle funzioni dierenziabili a supporto
compatto. Non si tratta di un sottospazio chiuso, quindi non e certo
completo per la topologia indotta da quella di C1(
). Deniamo ora su
C1c (
) una topologia piu forte di quella indotta da C1(
).
Se Km e il sistema di compatti denito nella dimostrazione del teorema
precedente, ad ogni successione N = fNng di numeri naturali associamo la
seminorma
pN(f) :=
1 Xm=1
Nm sup
x2KmnKm􀀀1
sup
jijNm j@if(x)j
(assumiamo K0 := ;).
Teorema 8.1.9 Lo spazio C1c (
) e completo e non metrizzabile.
Dimostrazione: Consideriamo una successione di Cauchy ffng; dimostriamo
allora che tutte le funzioni fn appartengono a C1K (
), ove K e un ssato
compatto e C1K (
) denota lo spazio delle funzioni f 2 C1(
) a supporto
in K: si tratta di un sottospazio di Frechet di C1(
), quindi la successione

Answer 8

non ho capito niente............

Answer 9

c'ho capito poco o nulla...
comunque contiamo di vederti alla prossima
edizione de LA PUPA E IL SECCHIONE!

Answer 10

nn ci ho capito un tubo...ma quello della foto sei davvero tu?bhe si vede ke sei un matematico vero anke tu...ciao matematico