Chi risponde bene, vi regalo 6 stelle, ma voglio una bella spiegazione di questo esercizio.?

Question

Si consideri la funzione f(x)= X-9/√x -3
Calcolare i valori per x=8.9; X=8.99; X=8.999 e per X=9.1; X=9.01; X=9.001
Che cosa si può osservare?
C) determinare i valori di x | f(x)-6|<0.01
d) determinare i valori di x | f(x)-6|< d
dopo aver verificato che risultati dei punti c e d sono tutti intorni di 9, si dica in base a quale di tale risultati è lecito affermare che si ha
Lim f(x)=6
X→9
√x= radice quadrata di x
Chi risponde bene, vi regalo 6 stelle, ma voglio una bella spiegazione di questo esercizio.
grazie per il vostro aiuto

Answer 1

Forse intendevi

f(x) = (x - 9)/(√x - 3)

non definita per x = 9.

f(8.9) = 5.98329
f(8.99) = 5.99833
f(8.999) = 5.99983
f(9.1) = 6.01662
f(9.01) = 6.00166
f(9.001) = 6.00017

Si osserva che i limiti destro e sinistro esistono e sono uguali. Quindi la funzione f(x) ammette il limite in senso stretto ed esso è uguale a 6.

Per i punti c) e d) basta notare che

x - 9 = (√x + 3)(√x - 3)

Quindi per tutti i valori diversi da 9 possiamo studiare la funzione:

f(x) = √x + 3

|f(x) - 6| < 0.01

caso 1) f(x) -6 > 0

√x < 3.01 <=> x < 9.0601

Caso 2) f(x) - 6 < 0

√x - 3 < 0 <=> 3 - √x < 0.01

√x > 2.99 <=> x > 8.9401

In definitiva x ∈ (8.9401,9,0601)

Per la domanda d) basta cambiare lo 0.01 con d e quindi otteniamo x ∈ ( (3-d)²,(3+d)² ).

Come già detto, avendo osservato che questa funzione si avvicina sia da destra che da sinistra allo stesso valore dovrebbe garantirci l'esistenza dei limiti destro e sinistro e da qui quella del limite in senso ordinario. Ad essere pignoli però, nulla vieterebbe alla funzione f(x) di impazzire avvicinandosi a 9, ma di solito con quelle normali non succede mai. Un esempio di funzione patologica, creata ad hoc per dare fastidio è:

f(x) = 1 per x ∈ (8.999999,9.000001)
(x - 9)/(√x -3) per tutti gli altri valori di x

Insomma niente di buono.

In definitiva, dal punto di vista teorico, la d) è l'unica buona visto che ci porta direttamente nelle braccia della definizione di limite: essa infatti dimostra che per ogni valore "d" esiste un altro valore "e" tale percui:

|f(x) - 6| < d per ogni x ∈ (9-e,9+e)

Answer 2

l'affermazione d è uguale alla c solo che la d vale per ogni d mentre la c vale per d=0,01
il limite si ha qundo d non è fissato quindi preferisco risolvere la d perchè se vale la d vale per forza anche la c ma la c non ti dice nulla sul limite delle funzione

|f(x)-6| infatti se cerchi una distanza ti aspeti valori positivi e fai la differenza tra due coordinate (quanti cm ci sono tra 4 e 7 segnati sul righello? |7-4|=|4-7|=3)

|f(x)-6| 0<|f(x)-6| perchè un valore assoluto non sarà mai negativo
si può togliere il valore assoluto ed ottenere
-d se non sei abituato a questa scrittura puoi benissimo scrivere
-d
ma per brevità continuo così
6-d
sostituisci al f(x) la tua funzione e devi semplificando dimostrare che se f(x) è in un intorno di 6 x è in un intrno di 9..................................................................................................................................................................................................................................................................etc etc etc

Answer 3

Sorry nn sono ankora arrivata a questi esercizi pero i miei ke sto facendo sono simigli spero tanto ke qualkuno ti aiutera anke xke ho visto dalla tua domanda ke eri proprio disperato/a in bocca al lupo

Answer 4

le vedo le stelle girare intorno a me, mi spiace non comprendo nemmeno la prima X quella tra le parentesi tonde:-)