Isomorfismo?

Question

Non riesco a dimostrare che:
f: P_3(R) --> R^4
p --> f(p) = ( p(0), p(1), p(2), p(3) )
(P_3(R) : insieme dei polinomi di grado minore o uguale a 3 e con coefficenti reali)
è un isomorfismo.
Cioè devo verificare che la funzione è biettiva e lineare. Che è lineare credo di averlo dimostrato, ma che è biettiva no.
Mi suggerite di trovare l'inversa della funzione oppure dimostrare che è sia iniettiva e suriettiva?
Qualcuno che capisca qualcosa in materia mi aiuta per favore? Grazie in anticipo...

In generale un polinomio di terzo grado può essere espresso rispetto alla base (1, x, x^2, x^3) come combinazione lineare dei vettori base, cioè:
p(x)= a * 1 + b * x + c * x^2 + d * x^3

Artist...mitico!
Beh qui si tratta di isomorfismi tra spazi vettoriali, è ovvio (avrai capito che è algebra lineare senza dubbio... ;-) )

Cmq sia, allora deve esistere un'inversa! Non è più semplice trovarla invece che verificare che è sia iniettiva che suriettiva?

Mmmm...Gaetano e Artist mi sembrano non sempicissimi i vostri procedimenti e devo dire di non aver capito tutto tutto...
Io avrei un'idea (magari più semplice):
se ricavassi il kern(f) della funzione e dimostro che è uguale all'inisieme nullo, allora ho dimostrato che è iniettiva! E segue direttamente che è suriettiva per questa formula:
dim P_3(R) = dim kern(f) + dim Im(f)
cioè:
4=0+ n da cui n=4.
Visto che la dimensione dell'insieme delle immmagini è 4, e visto che l'insieme delle immagini è sempre un sottoinsieme (uguale o no) del codominio, allora Im(f) = R^4, da cui segue la suriettività.
Ho detto giusto?

Ahhhh ok Gaetano te mi hai detto l'inversa di f direttamente (scusa sono un po' lento a capire :S ) ...
Ma scusa non potevi direttamente affermare che quella era l'inversa e dimostrare senza passare per la suriettività e l'iniettività che la funzione è un isomosrfismo (tra spazi vettoriali) ?

Answer 1

E'un isomorfismo, la spiegazione logica è che per n punti del piano passa una funzione polinomiale di grado n-1.
Visto che hai verificato che è lineare, verifichiamo che è ingettiva e surgettiva, poi troviamo anche l'inversa (per il gusto di farlo, mica si vive solo per lavorare! :-))
E' ingettiva perché dato (yi) di R^4,
se esistono g,h di P_3(R) tali che f(g)=f(h) = (yi)
allora g,h passano per 4 distinti punti del piano (ossia (0,y0), (1,y1),(2,y2),(3,y3) )-> devono essere uguali
E' surgettiva, perché per ogni (yi) di R^4 esiste un polinomio che passa per (yi). Sappiamo che esiste, ma qual'è?
Detti, per chiarezza, x0=0,x1=1,x2=2,x3=3
E' dato da:
p(x)=
(y0)(x-x1)(x-x2)(x-x3) / (x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)+
(y1)(x-x0)(x-x2)(x-x3) / (x1-x0)(x1-x2)(x1-x3)+
(y2)(x-x0)(x-x1)(x-x3) / (x2-x0)(x2-x1)(x2-x3)+
(y3)(x-x0)(x-x1)(x-x2) / (x3-x0)(x3-x1)(x3-x2)
Ossia =
somma (i=0..3) yi*prod(j=0..3,j<>i)(x-xi) / prod(j=0..3, j<>i)(xi-xj)
che è ovviamente un polinomio di grado 3.
Nota che il prodotto prod(j=0..3, j<>i)(xi-xj) è una costante <>0.
Il "trucco" sta nel fatto che per x=xi il polinomio associato al coefficiente yi diventa 1 e gli altri 3 diventano 0 quindi rimane p(xi)=yi
p(x) è chiaramente la funzione inversa, ossia associa a (yi)di R^4 un polinomio di grado 3.

Osservazione:
In sostanza abbiamo operato, in P_3(R), un cambio di base!
Siamo passati dalla base canonica alla base
(pi(x)) = prod(j=0..3,j<>i)(x-xi) / prod(j=0..3, j<>i)(xi-xj)
che ci è più comoda ai fini di trovare il polinomio passante per (xi,yi) infatti i coefficienti con cui esprimo p di P_3(R) con la base pi sono proprio i valori p(xi) =yi

P.S.
Ah..che bella l'algebra! rimpiango quei tempi quando la studiavo...
Ciao!

P.P.S.
Guarda che la suriettività te l'ho dimostrata!
Infatti, dato (yi) = (y0,y1,y2,y3) di R^4 vogliamo provare che esiste una p(x) di P_3 tale che f(p) = (y0,y1,y2,y3) ok?
prendo p(x)=
(y0)(x-x1)(x-x2)(x-x3) / (x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)+
(y1)(x-x0)(x-x2)(x-x3) / (x1-x0)(x1-x2)(x1-x3)+
(y2)(x-x0)(x-x1)(x-x3) / (x2-x0)(x2-x1)(x2-x3)+
(y3)(x-x0)(x-x1)(x-x2) / (x3-x0)(x3-x1)(x3-x2)

che appartiene a P_3, nota che le xi,yi sono COSTANTI!!
ossia p(x)=
(y0)(x-1)(x-2)(x-3) / (-1)(-2)(-3)+
(y1)(x)(x-2)(x-3) / (1-0)(1-2)(1-3)+
(y2)(x)(x-1)(x-3) / (2-0)(2-1)(2-3)+
(y3)(x)(x-1)(x-2) / (3-0)(3-1)(3-2)
cosa c'è di difficile?
calcoliamo, ad esempio:
p(0) = y0(-1)(-2)(-3)/(-1)(-2)(-3) = y0!
idem per ogni xi p(xi)=p(i)= yi
Abbiamo quindi trovato un p di P_3 tale che
f(p) = (p(0),p(1),p(2),p(3))=(y0, y1, y2, y3)
Questo prova la surgettività...
Più di cosi...

p.p.P.
Si potevo, ma vuoi mettere il gusto di notare le cose? :-) ti ho pure fatto notare che l'inversa è un cambio di base...
bello no?

x Miskyn
Ok, avevo capito male il tuo discorso sugli zeri! Si, dato che un polinomio di 3o grado non nullo può avere massimo 3 zeri, non può rendere p(0),p(1),p(2),p(3) nulle, quindi il Ker(f) è la sola funzione nulla. Ok!

Answer 2

f è iniettiva:

se due polinomi p e q hanno la stessa immagine vuol dire che p-q si annulla in 0,1, 2, 3 ossia p-q=0 ha 4 soluzioni il che è impossibile per un polinomio di grado 3.

f è suriettiva:

sia (a,b,c,d) appartenente a R^4, e considera un generico polinomio p(x):= jx^3+ix^2+kx+y con j,i,k,y reali.
imponi
p(0)=a
p(1)=b
p(2)=c
p(3)=d
ottieni un sistema lineare a 4 incognite (j,i,k,y) e 4 equazioni che ammette sempre soluzione. Tale soluzione determina dunque il tuo polinomio p.


Quando parli di ISOMORFISMO specifica sempre di che oggetti: gruppi? anelli? campi? curve? ecc....

SI SI...era giusto per rompere i maroni sui dettagli...più andrai avanti con gli studi più i dettagli diventeranno importanti.

un' inversa si può determinare a partire dal procedimento per determinae la suriettività! Non ho alcuna voglia di calcolarlo ma ottieni ad esempio y=a, ecc....quindi ad ogni quadripletta a,b,c,d associ il polinomio p ottenuto. E' una funzione inversa perché se composto con la funzione di partenza ti ridà la quadripletta a,b,c,d. Se invece parti da un polinomio prima applichi f e poi la nuova funzione ottieni ancora il polinomio di partenza! Questo dimostra che la funzione è effettivamente l'inversa e ti sei risparmiato l'iniettività! Ma non so cosa convenga...dipende dai gusti.


SI, meglio ancora, hai usato il teorema della nullità più rango: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_della_dimensione

Answer 3

Ciao Pat, ti do un corollario secondo me in questo caso molto utile, che senza troppi calcoli dimostra che f è un isomorfismo..
V e W sono k-spazi vettoriali di dimensione finita tali che dim(V)=dim(W), ed f:V--->W è un applicazione lineare, allora le seguenti condizioni sono equivalenti:
1)N(f)=0;
2)Im(f)=W;
3)F è un isomorfismo.

Quindi se hai già dimostrato che f è lineare, che comporta che f(cp+dq)=cf(p) + df(q) dove c,d appartengono ad R e p,qappartengono a P_3(R) che è immediato, allora ti basta dimostrare che il nucleo di f è uguale ha 0, e si vede subito che è verificato, perchè f(p)=0 se e solo se p è nullo perchè un polinomio di terzo grado nel campo reale ha al più 3 radici.

Scusami gaetano se p deve essere in 0 1 2 3 uguale a 0 essendo al più un polinomio di terzo grado in R, può avere al più 3 radici in R, invece in questo caso ne dovrebbe avere 4(il che è assurdo), e quindi viene immediato che p deve essere nullo.
O magari ho capito male io la domanda.
..La funzione f prende un polinomio di P_3(R) e lo manda in (p(0),..,p(3)) o mi sbaglio?a me pare che sia così e che non bisogna cercare nessuna unione..
N(f) per definizione è:
Siano V e W spazi vettoriali, v elemento di V, f un applicazione lineare da V a W allora
N(f)=(v€V: f(v)=0)
quindi mi pare che sia giusto il mio ragionamento, a meno che non ho capito bene come è f..

Answer 4

un'applicazione lineare e' un isomorfismo se e solo se dominio e codominio hanno la stessa dimensione. semplice, no?