funzioni iniettive, suriettive, biettive?

Question

qualcuno mi spiega la differenza tra qst 3 tipi di funzioni? Grazie ^_^

scusate se faccio troppe domande stupide, ma il linguaggio matematico a volte mi confonde le idee... T_T
mi fate anke degli esempi? così ke capisco meglio?

per esempio:
f(x)=log(x - sqrt x)
è una funzione iniettiva?

Answer 1

Ciao, adesso cerco di spiegarti cosa significano e ti faccio degli esempi. Sono concetti semplici comunque, non farti intimorire.

Siano A e B due insiemi e sia f una funzione che manda A in B.


FUNZIONI INIETTIVE

f si dice iniettiva se per ogni x e y in A con x diverso da y allora f(x) è diverso da f(y). Alternativamente f(x)=f(y) implica x=y. In pratica la funzione assume valori sempre diversi in punti diversi.

Per esempio, se A=B=R (insieme dei numeri reali) f(x)=e^x è una funzione iniettiva. Infatti e^x=e^y implica (moltiplicando ambo i membri per e^(-y) ) e^(x-y)=e^(y-y)=e^0=1. Quindi x=y perché e^z=1 solo se z=0 (quindi z=x-y=0, cioé appunto x=y). Se dovesse essere chiaro: e è un numero reale compreso tra 2 e 3, se ti confonde considera 2 al posto di e, il ragionamento rimane valido senza bisogno di aggiustamenti.

Sui reali, in generale, le funzioni strettamente crescenti sono iniettive: infatti se f è crescente x>y implica f(x)>f(y) e quindi f(x) è diverso da f(y). Lo stesso vale per le funzioni decrescenti: una funzione strettamente descrescente è iniettiva.

Per vedere se una funzione da R in R è iniettiva puoi vedere se la derivata di f si annulla: se f'(x) (derivata di f calcolata in x) è sempre diverso da 0 allora la funzione è strettamente crescente e pertanto è iniettiva.

Attenta, però: se f'(x)=0 in qualche punto non significa che la funzione non sia crescente né tanto meno che non sia iniettiva. Per esempio se prendi f(x)=x^3 hai che f'(x)=2x^3 che si annulla per x=0. Tuttavia x^3 è strettamente crescente.


FUNZIONI SURIETTIVE

Una funzione f da A a B si dice suriettiva se per ogni y in B esiste x in A tale che f(x)=y. Alternativamente, f è suriettiva se f(A)=B ovvero l'immagine di A è tutto B. In pratica ogni elemento di B è immagine tramite f di qualche elemento di A.

Per esempio, se A=B=R e f(x)=e^x allora f non è suriettiva perché e^x>0 per ogni x in R.

Invece se A={x in R tali che x>0} e B=R la funzione f(x)=log(x) (il logaritmo di x, ovvero la funzione inversa della precedente: la funzione esponenziale) è suriettiva: infatti la funzione tende a meno infinito al tendere di x a zero (la funzione assume valori negativi sempre più grandi più ci si avvicina a 0) e tende a più infinito se x tende a più infinito (f(x) è arbitrariamente grande se prendi x abbastanza grande). log(x) è una funzione continua sui reali positivi (in termini semplici - e non troppo rigorosi - il suo grafico è una linea continua priva di salti o punti vicino a cui la funzione oscilla senza assumere un valore preciso o punti in cui la funzione tende a più o meno infinito). C'è un teorema noto come teorema dei valori intermedi o teorema degli zeri che dice che se a

FUNZIONI BIETTIVE

Una funzione f da A a B si dice biettiva se è sia iniettiva che suriettiva. Una funzione f biettiva è dotata di inversa (denotata f^(-1)) in modo che f^(-1)(f(x))=x per ogni x in A.

Se A e B sono insiemi finiti e f è biettiva, allora A e B devono avere la stessa cardinalità (numero di elementi). Se A è infinito (ha infiniti elementi) allora anche B lo è e viceversa.

Sia A sottoinsieme non vuoto di R qualsiasi. Per esempio f(x)=x^(2n+1) dove n è un intero non negativo, è una funzione biettiva prendendo B=f(A). La sua inversa è la funzione g(y)=y^(1/(2n+1)). Come caso particolare f(x)=x (l'identità) è una funzione biettiva prendendo A=B qualsiasi.


CONCLUSIONE

Per vedere se una funzione è iniettiva, suriettiva o biettiva guarda bene il grafico (se la funzione è da R in R). Se la funzione è tra insiemi A e B qualsiasi prova a vedere se si applica o meno la definizione. Per funzioni tra insiemi qualsiasi, l'uso dei diagrammi di Venn (i classici insiemi a cerchio con gli elementi evidenziati da punti) può essere un'utile strumento intuitivo.

Una funzione biettiva è sia iniettiva che suriettiva. Una funzione iniettiva può essere suriettiva (e quindi anche biettiva) oppure no. Una funzione suriettiva può essere iniettiva (e quindi biettiva) oppure no.

Answer 2

Definiamo una funzione
f: D --------> C
dove D è il dominio e C è il codominio
f(D) è l'immagine di f, cioè l'insieme degli elementi di C che corrispondono ad un elemento di D.

Se f(D) = C, cioè ogni elemento di C è immagine di uno o più elementi di D, allora si dice che la funzione è SURIETTIVA.

Se presi due elementi di D che siano distinti fra loro risulta che le loro immagini tramite f sono diverse , allora si dice che la funzione è INIETTIVA.

Infine, una funzione si dice BIETTIVA, se è sia iniettiva che suriettiva, cioè se ad ogni elemento di D corrisponde un unico elemeno di C.

Ciao!!!
Lulisja

Answer 3

Consideriamo f: A-->B

f è iniettiva se: (do diverse definizioni)
- supponi di avere f(x) = f(y), allora deve valere x=y per tutte le x, y € A;
- per contrapposizione: x!=y implica che f(x)!= f(y).
(!= : diverso da)

f è suriettiva se:
- per ogni y € B esiste una x € A per cui vale: f(x)=y;
- f(A) = { f(x) | x € A } = B .

f è biettiva se:
- è iniettiva e suriettiva;
- possiede un'inversa f^(-1): B --> A.

Answer 4

f:A--->B

f iniettiva:
per ogni x,y di A
f(x)=f(y) se e solo se x=y
ossia f trasforma elementi diversi di A in elementi diversi di B

f suriettiva:
per ogni y di B esiste x di A tale che f(x)=y
Ossia l'immagine di A tramite f è tutta B, non esiste elemento di B che non abbia controimmagine in A

f biettiva:
se è sia iniettiva che suriettiva:
f associa ad ogni elemento di A un elemento di B e non esiste elemento di B che non abbia controimmagine in A

P.S.
Considerando il tuo esempio,
f(x)=log(x - sqrt x)
per vedere se è iniettiva dobbiamo verificare che sia sempre strettamente crescente o decrescente.
Il dominio è x>0 con x-sqrt(x)>=0 ossia deve essere x>=1
osserviamo che il log è sempre crescente, e x cresce in modo maggiore rispetto a sqrt(x) per ogni x>=1 si ha che la funzione è iniettiva nel suo dominio [1,+inf[

Answer 5

Qui c'è la spiegazione teorica molto semplici e alcuni esempi e controesempi. Ti conviene salvarti il link.

Answer 6

Una funzione f : A in B si dice iniettiva se f(x) = f(y) cioè x=y per ogni x,y appartenente ad A
ovvero se per ogni z che appartiene a f(A) esiste una x che appartiene ad A tale che f(x)=z
Esempi di funzioni iniettive da R in R:
f(x) = x
f(x) = x (x elevato 3)
f(x) = ax
Esempi di funzioni non iniettive da R in R:
f(x) = x2 (x elevato 2)
f(x) = cos x:
Una funzione f : A in B si dice suriettiva da A in B se
per ogni y appartenente a B esiste una x che appartiene ad A tale che f(x)=y
ovvero se f(A) = B.
Esempi di funzioni suriettive da R in R:
f(x) = x
f(x) = x3 (x elevato 3)
Esempi di funzioni non suriettive da R in R:
f(x) = x2 (x elevato 2)
f(x) = cos x:
Una funzione si dice biiettiva se è iniettiva e suriettiva.


Spero di aver scritto giusto, se ci sono errori scusate!!!

Answer 7

Si chiama funzione di X in Y una qualsiasi legge che fa corrispondere ad ogni elemento x X uno e uno solo elemento y Y.
f si dice iniettva quando elementi distinti vanno a finire in elementi distinti (una funzione crescente o descrescente è iniettiva);
f si dice suriettiva se l'immagine è uguale all'insieme d'arrivo
f si dice biettiva quando è sia iniettiva che suriettiva.

Answer 8

http://matematicafacile.altervista.org/funzioni_iniettive.html