Comment ne plus rendre récurrente deux suites récurentes liées?

Question

Par exemple :

U(n) = V(n-1) +2
V(n) = 2U(n-1)
(avec U(0) et V(0) défini)

Answer 1

Dans le cas général,
U(n) = a1 U(n-1) + b1 V(n-1) + c1
V(n) = a2 U(n-1) + b2 V(n-1) + c2
On se ramène à une équation matricielle :
U(n) = (a1 b1) (U(n-1)) + (c1)
V(n) (a2 b2) (V(n-1)) + (c2)
(désolé difficile à écrire dans yahoo Q/R)
Donc le problème se ramène au calcul d'une puissance de matrice 2x2 :
U(n) = (a1 b1) ^n (U(0)) + (c1) x.....
V(n) (a2 b2) (V(0)) + (c2)
Pour calculer la puissance de la matrice : diagonaliser ou au pire trigonaliser (somme d'une diagonale et d'une matrice nilpotente : tu t'en sors car la nilpotente a une puissance qui tend rapidement vers zéro surtout en dimension 2).
Bref en maths on résout ce problème sans difficulté dans le cas général. Si j'avais MAPLE à disposition ou une calculatrice correcte, j'aurais fait le calcul dans le cadre de ton exemple. Dans ton cas on voit rapidement que +/- racine(2) sont valeurs propres : donc c'est diagonalisable. Donc tu dois avoir une solution du type :
a*racine(2)^n + b*(-racine(2))^n +c.

Answer 2

On voit tout de suite que Un=V(n-1)+2=2U(n-2)+2 et aussi
Vn=2U(n-1)=2V(n-2)+4 les deux suites sont séparées, mais il faut trouver U1 et V1 pour les construire complètement.
On a heureusement U1=V0+2 et V1=2U0, d'où
U2=2U0+2 et U3=2U1+2=2V0+6, U4=2U2+2=4U0+6 et on peut trouver la formule générale pour les Un avec n pair ou impair,et le démontrer par itération:
U(2n)=2^nU0+2^n+2^(n-1)+...+2=
2^n(U0+2)-2 de même
U(2n+1)=2^n(U1+2)-2=
2^n(V0+4)-2....la machine m'oblige à couper la ligne, sinon elle mange le résultat!! Et,pour Vn avec n impair:
V(2n+1)=2U(2n)=2^(n+1)(U0+2)-2 et encore
V(2n)=U(2n+1)-2=2^n(V0+4)-4
Les voilà dérécurrentées et déliées!

Answer 3

je suis entrain de bien réfléchir

Answer 4

Par "ne plus rendre récurrente", je suppose que tu veux dire "donner une définition qui ne soit pas par récurrence"?

Tu as U(n) = 2U(n-2) + 2
Pose W(n) = U(n) + c, cela te donne W(n) = 2W(n-2) + 2 - c
Si tu poses c = 2, alors tu as une suite bien plus sympa.
Tu calcules W(n), cela doit donner a*2^(n/2) + b*(-rac(2))^n avec rac la fonction racine carrée et a et b que tu détermines avec les conditions initiales.
De là, tu en déduis U(n) et V(n)

Answer 5

Je ne comprends pas le sens de la question, mais:
U(n) = 2U(n-2) + 2
ce qui definit parfaitement U(2n) par recurrence:
U(0) = 0
U(2) = 2, etc
ensuite:
V(n) = 2 * (V(n-2) + 2) = 2V(n-2) + 4
donc V(2n) est definie par recurrence
Ensuite:
tu connais V(2) donc tu as U(1) etc

Answer 6

facile tu changes les termes (comme pour la resolution d'un systeme a 2 equation ), c'est plus ou moins ce qu'a fait le type qui a pose le 3eme com a la question mais IL S'EST TROMPER : Un = 2U(n-3) + 2 et nn pas Un = 2U(n-2) + 2 comme il l'a ecrit. une autre erreur : "ce qui definit parfaitement U(2n) par recurrence:
U(0) = 0
U(2) = 2, etc" je ne vois pas comment tu trouve U(0) =0. c'est l'enoncé qui le donne, pas toi.
Un = V(n-1) + 2
Vn = 2U(n-1)
V(n-1) = 2U(n-3)
Un = 2U(n-3) + 2

U(n-1) = V(n-2) + 2
2U(n-1) = 2V(n-2) + 4 = Vn
voila, tu vois c'est facile les maths. =)