¿Cómo se demuestra que la derivada de una función par es impar?

Answer 1

Toda función par, si es desarrollada en series (sumatoria de a sub n por x elevado a la n) se puede observar que los a sub n para n impar son cero es decir que sólo cuentan los exponentes de x que son pares.
La derivada de una función es igual a la derivada de su desarrollo en serie, por lo tanto, como los exponentes de x son pares, sus derivadas darán exponentes de x impares, lo que se corresponde con un desarrollo en series de una función impar.
¿se entendió la demostración?

Answer 2

Hay una forma más fácil de demostrarlo.
Si f es una función par, entonces por definición f(x) = f(-x)

Derivamos ambos miembros:

f'(x) = [f(-x)]'

Para derivar el segundo miembro usamos la regla de la cadena. Luego:

f'(x) = (-x)' . f'(-x) = -f'(-x)

Y por tanto f'(x) es impar (una función g es impar si y sólo si g(x) = -g(-x))