La série de terme général n^(-(n+1)/n) est-elle convergente?

Question

AVEC la démonstration bien sûr !

__________________________________

XAVIER D on parle ici de série, pas de suite !
__________________________________

__________________________________

ELiiC 99 ce n'est pas un devoir(je suis professeur), mais une recherche que je vous propose. Pour le fun, disons.
__________________________________

Answer 1

Pas sur de mon truc, mais bon... La suite elle meme tend vers 1/n, or la serie de terme general 1/n ne converge pas (c'est la def du log neperien de n, si je me souviens bien...). Donc ta serie ne converge pas.

bon, je sors mon joker: limit comparison test:
http://mathworld.wolfram.com/LimitComparisonTest.html

ta serie et celle de terme general 1/n sont positives, et le rapport des deux suites, n^(-1/n), tend vers 1, positif. Or la serie de terme general 1/n diverge (et la, je ressors mon log neperien, test integrale en comparant a 1/x), donc ta serie diverge. D'apres Mathworld, ca colle.

Pour le n^(-1/n), je n'avais pas juge utile de justifier, desole... C'est exp((-1/n)*ln(n)), or ln(n)/n tend vers 0, donc l'exponentielle tend vers 1. Je ne sais pas trop quoi dire d'autre...

Answer 2

n<2^n
donc
n^(1/n)<2
donc
n^(-1/n)>1/2
donc
n^(-(n+1)/n)>1/2n
donc
divergence

Answer 3

Le terme général est positif donc on peut chercher un équivalent.

Or :
n * n^(-(n+1)/n) = n*(1-(n+1)/n)
= n^(-1/n)
= (exp(ln n))^(-1/n)
= exp (- (ln n)/n)

Or lim (ln n) / n=0 donc lim n*n^(-(n+1)/n) = exp(0) = 1
donc n^(-(n+1)/n) est équivalent à 1/n

Comme la série de terme général 1/n diverge, celle qui nous intéresse aussi.

Answer 4

d'après Reiman:
n*[n^(-(n+1)/n)]=n*(1/n)=1>0 ==>la série est div.
(car n^(-(n+1)/n) tend vers 1/n quand n tend vers inf)

Answer 5

x^(-(x+1)/x) = exp(ln(x^(-(x+1)/x)))
= exp(-(x+1)/x*ln(x))
= exp(-ln(x) - ln(x)/x)
quand x tend vers l'infini, ca tend vers exp(-ln(x)) donc 1/x donc 0
Mais c'est sans doute naif...

Answer 6

File dans ta chambre et fais tes devoirs tout seul.