question de probabilité difficile pour 10 points?

Question

si X,Y et Z sont des variables aleatoires independantes uniformement distribuées sur l'intervalle [0,1]
calculer la probabilité que la plus grande des trois variables soit
superieure à la somme des deux autres?

Answer 1

Posons Z la grande variable
Calculons P(Z>X+Y):
comme X; Y et sont des variables continues, uniformes sur [0;1] et surtout indpendantes alors P(Z>X+Y)= 1-P(Z D'une autre manière, P(Z>X+Y)=integrale allant de X+Y a 1(dt)= [t]^(1) indice (X+Y)=1-X-Y

Answer 2

je veux communiquer mes idées et non pas les points

Answer 3

En reprenant l'idée de Dadodudou2.

Je préfère me placer dans le cube unité et considérer les volumes des pyramides intersections des demi espaces définis par les plans x+y-z=0 et ses équivalents et le cube unité.
Toujours avec un doute sur le transfet d'une probabilité uniforme sur [0,1] vers le cube de coté [0,1] comme Dado...
On définit trois pyramides de volume 1/6 qui sont disjointes (je pense). la somme de leurs volumes est de 1/2 qui ramené au volume total donne une probabilité de 1/2.

Answer 4

la probabilité qu'on cherche peut s'écrire comme la somme des proba que X soit supérieur à Y+Z, que Y soit supérieur à X+Z et que Z soit supérieur à Y+X. Soit encore:

P = P(Y+Z
Les variables sont uniformement distribuées: p[X](t) = p[Y](t) = p[Z](t)=1 où p[X] est la densité de probabilité associée à X et
p[X](t) dt la probabilité d'obtenir X entre t et t+dt, le paramètre t étant compris entre 0 et 1.
On peut montrer (ça me semble évident sur le moment, et je sais plus comment on fait) que P[X+Y](t) = t pour 0 Si X est fixé, on peut calculer par exemple P(Y+Z intégrale{ P[Y+Z](t) dt,t=0...X } = 0,5*X^2.
Pour X "libre", P(Y+Z
Par symétrie, P(Y+Z
Finalement, la proba recherchée est donc P=1/2 !

Answer 5

Je ne suis pas certain de mon raisonnement. La probabilité trouvée (3/4) me semble bien élevée.

On note t la somme de x, y et z.

On va raisonner graphiquement, dans un repère orthonormé fixé. Pour t fixé, on associe à chaque valeur du triplet (x;y;z) le point A(x;y).

L'ensemble des points A est la moitié inférieure gauche du carré [0;t] x [0;t] et la distribution des points A est uniforme (c'est peut-être ce point qui est faux).

On veut que :

x>y+z ce qui revient à x>t/2 ;

ou y>x+z ce qui revient à y>t/2 ;

ou z>x+y, soit t-x-y>x+y, soit x+y
On hachure la portion du plan obtenue en prenant la réunion de ces sous-ensembles de points. Son aire vaut les 3/4 de celle du triangle rectangle où évolue le point A ; à t fixé, l'événement cherché a donc une probabilité de 3/4

Ceci étant vrai pour toute valeur de t, la probabilité cherchée demandée est donc aussi égale à 3/4.

Answer 6

Supposons qu'on nomme Z la plus grande et Y la seconde plus grande:

alors la probabilité que z soit plus grand que x+y est tout simplement (1-x-y)/y si x+y<=1 et 0 si x+y>1

Ex:
x=0.2 y=0.5
D'ou x+y=0.7

Si Z est une variable tirée aléatoirement entre 0,5 (puisque elle est forcement plus grande que x et y) et 1,elle aura une probabilité de 60% d'être supérieure à 0,7

Answer 7

je me risque à répondre de manière intuitive ... une chance sur trois

on pourrait bien entendu se prendre la tête avec les intégrales et tout le reste mais j'ai la flemme de ressortir mes cours ...

ps : bon, j'avais faux ... après quelques lignes de code sous matlab et 10^6 itérations ... la proba tend bien vers 0,5

Answer 8

Moi je dis, soit x la valeur la plus haute,
la proba pour que z soit inferieur à (x-y) (c'est à dire que x>y+z) est égale à (x-y)
Mais je ne vois pas quoi faire avec ca!

-> ca y est, j'ai trouvé!!!!

il faut simplement l'integrer (integrale double de x= o à 1 et y= 0 à x):
int0-1 (int 0-x ((x-y)dydx = int 0-1 (x²-x²/2)=1/6

puis la multiplier par 3 (puisque c'est soit X, soit Y, soit Z la plus grande, soit 3 possibilités)

Bilan des courses: p=1/6*3=1/2

La meme que les constructions graphiques, mais moi aussi ca me semble gros!

Et toc! voilà pour les 3 pouces en bas!!!

Answer 9

pas evident !!!

Answer 10

Il y a 3 probabilités :
X peut être supérieur à Y + Z
Y peut être supérieur à X + Z
Z peut être supérieur à X + Y
Avec une infinité de valeurs pour chaque probabilité