question de probabilité?

Question

ON lance un DE jusqu'a ce que la somme totale des nombres obtenues depasse 300,quelle est la probabilté qu'il faille au moins
80 jets ? JUSTIFIER VOTRE REPONSE SVP.

Answer 1

Soit X l'évènement: obtenir plus que 300 points suite à au moins 80 lancés de dés.
Posons l'évènement contraire (X bar) dont la probabilité de réalisation est plus aisée à calculer et qui est telle que : obtenir plus que 300 points suite a au plus 79 lancés de dés.

Or il se fait qu'on ne peut obtenir plus que 300 points si on effectue un nombre spécifique de lancés: par exemple, il est impossible d'avoir plus que 300 points suite à 1, 2 ou 3 lancés ...
Donc, il faut au moins 50 lancés pour que la somme des points puisse atteindre les 300 (et ceci en n'obtenant que des 6); la probabilité qu'on notera p1 pour obtenir 300 (ou plus) avec 50 lancés est égale a : p1= (1/6) ^50. On notera ainsi l'évènement X (50): Nombre de points obtenus suite a 50 lancés.

Soit X (51):l'évènement: "Nombre de points obtenus suite a 51 lancés". Le domaine de valeur de X (51) est : X (51)= {51; 52; ... ; 306}; calculons P (51)>= 300). D'abord on constate que la variable est symétriquement distribuée de part et d'autre de l'espérance (qui est donc aussi la médiane et le mode). L'espérance est égale à E(X (51)) = (51+306)/2 = 178.5. L'écart type est calculé par la somme des écarts absolus des valeurs de X (51) par rapport à la moyenne (ou espérance)
s= (écart-type noté sigma)= (0.5 +127.5) * (178 -51) =16256. En supposant les critères de convergence vérifiés: n assez élevé (supérieur à 30) et p assez faible (inférieur à 0.2) et les corrections de continuité négligeables on aura X (51) binomiale qui converge vers une X (51) normale de paramètre m2=E(X (51)) et s (51)=16256. Calculons P (300
De même pour l'évènement X (52): "Nombre de points obtenus suite à 52 lancés". Le domaine de X (52) = {52; 53; …; 312}. Même procédé de calcul:
E(X (52))= (312+ 52)/2= 182 et s (52)= 16899. Conformément au théorème central limite X (52) converge, X (52) binomiale converge vers une X (52) normale de paramètre m (52)= E(X (52))=182 et s (52)=16899. A ce niveau, on aura P (300< X (52) < 312) = pi (0.00769) – pi (0.00698) = 0.5033 – 0.5029 = 0.0003, alors probabilité pour obtenir plus que 300 points suite à 52 lancés de dés est égale à 0.0009=9*10^ (-4).

Et ainsi de suite pour touts les évènements Xi:"Nombre de points obtenus suite à i lancés de dé" i allant de 50 à 79 Xi= {i; i+1; …; 6i}

Finalement après avoir calculé la probabilité X (79) :"nombre de points obtenus suite à 79 lancés" et qui est égale à: 0.004. Finalement, on calcule X (bar) (une jolie série numérique): P (X bar) = Σi allant de 50 à 79 P (Xi) = 0.01725. Et enfin, on déduit P(X) = 1- P(X bar) = 0.98275 qui est presque un évènement certain.
Il nous faut une probabilité de 98.275% pour obtenir plus que 300 points en ajoutant les valeurs obtenues du dé avec au moins 80 lancés.

Answer 2

Indications, je n'ai pas de temps. J'espère qu'elles seront suffisantes.

considérons la variable aléatoire X de loi uniforme sur {1...6}
et X1...Xn n variables aléatoires identiques à X et indépendantes.

Soit Z leur somme.

Il n'est pas évident de trouver la loi mais nous avons le théorème Central Limit qui nous dit que la moyenne des Xi tend vers une loi normale de moyenne celle de Xi et d'écart type celui des Xi

Z/n tend vers une loi normale de moyenne 3.5 et d'écart type 1.7

On calcule la probabilité que Z/n > 300/n