est-il vraie que a+b² +c^3 est divisible par b,par d et aussi par d²?

Question

a=4 b=5 c=6 d=7

Answer 1

a + b² +c^3 = 4 + 5² + 6^3 =4 +25 + 216 = 245 = 5 * 7 * 7 = 5 * 7²
donc c'est divisible par 5, par 7 et par 7². CQFD

Answer 2

Comme a,b,c,d sont consécutifs

a+c=2b et b+2=d

a+b²+c=b²+2b=b(b+2)

a+b²+c=bd donc

a+b²+c^3=a+b²+c+c^3-c
=(a+b²+c)+c(c²-1)
=bd+c(c-1)(c+1)
=bd+cbd
=bd(c+1)
=bd²

donc a+b²+c^3 est divisible par b, d et d²

Answer 3

Divisible par b?
b² est toujours divisible par b. Concentrons nous sur les deux autres termes:
a se termine par 4. c^k se termine toujours par 6, quel que soit k.
6+4 = 10, donc a + c^k se termine toujours par un 0 et est donc toujours divisible par 5 (=b).

Divisible par d?
a est congru à 4 (mod 7)
-- (Cela veut dire qu'il y a un reste de 4 lorsqu'on divise a par 7; on pourrait aussi dire que ce reste est -3 ce qui, en arithmétique de base serait bizarre, mais en arithmétique modulaire serait équivalent)

b est congru à -2 (mod 7), et b² est congru à (-2)² = 4 (mod 7)
c est congru à -1 (mod 7), donc c^3 est congru à (-1)^3 = -1 (mod 7)

4 + 4 - 1 = 7 qui est congru à 0 (mod 7)
donc a+b² +c^3 est congru à 0 (mod 7) et est donc divisible par 7.

Divisible par d²?
(j'utilise : au lieu du symbole des trois tirets superposés)
Même approche
a : 4 (mod 49)
b : 25 (mod 49), b² : 27 (mod 49)
c: 6 (mod 49), c² : - 13 (mod 49)
donc c^3 : 6*(-13) : -78 : -29 (mod 49)

4 + 25 - 29 = 0

Oui.


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De façon encore plus générale:

a+b² +c^3
où a : -1 (mod b) et a : -3 (mod d)
b : 0 (mod b) et b : -2 (mod d)
donc b² : 0 (mod b) et b² : +4 (mod d)
c : +1 (mod b) et c : -1 (mod d)
donc c^3 : +1 mod (b) et -1 (mod d)

a+b² +c^3 : -1 + 0 + 1 (mod b)
a+b² +c^3 : -3 + 4 - 1 (mod d)

Answer 4

4 +5² +6^3 = 250
250 est divisible par 5
250 n'est pas divisible pat 7 ni 7²

Answer 5

Calcule l'expression, tu verras bien.

Answer 6

Il suffit que tu essaies pour le savoir !