¿Como resolver ecuaciones lineales por el metodo de reduccion?

Question

Hola a todos, me gustaria saber cual es la manera de resolver dos ecuaciones lineales por el metodo de reduccion, pero a ser posible, con palabras claras, ya que soy principiante y pocas cosas entiendo
muchas gracias enticipadas

Answer 1

Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables pueden resolverse indistintamente por medio de 5 procedimientos:

1. Igualación
2. Sustitución
3. Reducción por Suma o Resta
4. Determinantes
5. Gráficamente

Trataré de explicarte cómo se resuelve, pero no olvides que en matemática sólo aprenderás practicando, así que busca cualquier libro y ve a los ejercicios propuestos... y a trabajar se ha dicho!! (trata de buscar los textos que traen las respuestas a los ejercicios así puedes comprobar que has hecho bien la tarea)

El método de sustitución consiste en tomar una de las dos ecuaciones y despejar una de las incógnitas (siempre hay que buscar la más sencilla).
Supongamos un sistema sencillo para ir ilustrando lo que te voy diciendo:

3x + y = 4 (1)
x - 2y = 6 (2)

Elegimos la ecuación (1) y despejamos la "y":

y = 4 - 3x (3)

Ahora reemplazamos este valor de "y" en la otra ecuación, es decir, si elegimos la (1) para despejar entonces reemplazamos en la (2). Nos queda:

x - 2(4 - 3x) = 6

Luego operamos para eliminar los paréntesis:

x - 8 + 6x = 6

Ahora dejamos la variable (o incógnita, pero es más preciso el término variable) en un miembro y los números en el otro:

x + 6x = 6 + 8

7x = 14

Y ya sólo nos falta un pasito:

x = 14/7

x = 2

Sabiendo cuanto vale "x" nos vamos a la ecuación (3) y sabremos cuánto vale "y"

Recordamos la ecuación (3): y = 4 - 3x

Ahora que sabemos que x = 2, nos queda:

y = 4 - 3*2

y = 4 - 6

y = -2

Y tenemos resuelto nuestro sistema:

x = 2 y = -2

Pero si queremos estar bien seguros que hicimos las cosas bien, entonces tenemos un modo de comprobar: como obtuvimos "y" a partir de la ecuación (3), y a la ecuación (3) la obtuvimos despejando de la ecuación (1).... qué mejor que reemplazar en la ecuación que no hemos usado, la ecuación (2), y ver que los valores obtenidos la satisfacen.

La ecuación (2) era: x - 2y = 6

Reemplacemos: 2 - 2*(-2) = 6

Resolvamos el primer miembro y mejor que nos de "6"... sino estamos en problemas!!!

2 - 2*(-2) = 2 + 4 = 6... Grande!!... está todo perfecto

En el método de reducción por suma o restas también se busca eliminar una de las variables pero se usa otro procedimiento.
En este caso debemos observar el sistema y pensar cómo transformar una de las ecuaciones (multiplicando ambos miembros de la ecuación por un mismo número) para que una de las variables resulte con el mismo coeficiente numérico en las dos ecuaciones (te recuerdo que el coeficiente numérico de una variable es el número que va delante de la letra).
El asunto no es muy complicado y puede resolverse de dos modos: sistemáticamente (haciendo siempre lo mismo) o racionalmente (aplicando un poquito de ingenio)

Volvamos a nuestro sistema:

3x + y = 4 (1)
x - 2y = 6 (2)

Puedes ver que el coeficiente numérico de la "x" en la ec.(1) es 3 y en la ec.(2) es 1.
Cómo hacer para que estos dos coeficientes numéricos sean iguales?.. pues ese es el secreto del método!!!
Vamos a la resolución sistemática:
Si el coeficiente numérico de la "x" en la ec.(1) es 3, entonces multiplicamos el primer y el segundo miembro de la ec.(2) por 3, luego si el coeficiente numérico de "x" en la ec.(2) es 1, entonces multiplicamos el primer y el segundo miembro por 1. De este modo seguro que nos quedan los coeficientes numéricos de "x" iguales en las dos nuevas ecuaciones.
Veamos cómo sería:

1*(3x + y )= 1*4
3*(x - 2y )= 3*6

3x + y = 4 (4)
3x - 6y = 18 (5)

Bien, ahora sólo falta sumar o restar... y si lo que pretendo es eliminar una de las variables, entonces no queda otra que restar:

3x + y = 4
-
3x - 6y = 18

Restamos miembro a miembro:

3x + y - (3x - 6y) = 4 - 18

3x + y - 3x + 6y = -14

7y = -14

y = -14/7

y= -2.... igual que en el otro método!!... obvio, no?

Bueno, ahora falta la "x"... podríamos despejar como hicimos en caso anterior con la "y" en la ec. (3). Pero seamos fieles a este método que estamos aprendiendo y volvamos a reducir por suma o resta, pero ahora eliminemos la "y", para lo cual sus coeficientes numéricos deberán ser iguales.
Ahora seamos un poco más racionales y miremos las ecuaciones (1) y (2)
Si multiplico por 2 la ec.(1), el coeficiente numérico de la "y" va a quedar en 2 al igual que en la ec.(2)... hagámoslo entonces:

3x + y = 4 (1)
x - 2y = 6 (2)

2*(3x + y) = 2*4

6x + 2y = 8 (6)

Nuestro nuevo sistema es ahora con la ec.(6) y la ec.(2)

6x + 2y = 8 (6)
x - 2y = 6 (2)

Pero ahora vemos que los coeficientes numéricos de las "y" son iguales pero de distinto signo, entonces nos toca sumar miembro a miembro.

6x + 2y = 8 (6)
+
x - 2y = 6 (2)

6x + 2y + x - 2y = 8 + 6

7x = 14

x = 14/7

x= 2... y resolvimos nuestro sistema!!

Como siempre podés verificar reemplazando en la ec.(1) o la (2) y comprobando que coinciden los resultados.

No olvides, o multiplicas ambas ecuaciones cruzando los coeficientes o te fijas si encuentras rápido un número para multiplicar sólo una ecuación y que los coeficientes te queden iguales
Luego suma o resta, según te hayan quedado los signos de los coeficientes: si los dos son positivos o negativos, se resta; si los dos son distintos, entonces se suma.

Espero que te sirva.

Un abrazo!!

Answer 2

Para el primer sistema. x + y = a million -> y = a million - x 3x + y = 3/2 = 3x + (a million - x) = 3/2 = 3x + a million - x = 3/2 = 3x - x + a million = 3/2 3x - x + a million = 3/2 = 2x + a million = 3/2 2x + a million = 3/2 -> 2x = 3/2 - a million = 2x = 3/2 - 2/2 = 2x = a million/2 2x = a million/2 -> x = (a million/2)/2 = a million/4 -> x = a million/4 y = a million - x = a million - a million/4 = 4/4 - a million/4 = 3/4 -> y = 3/4 x = a million/4 y= 3/4 Para el segundo sistema 4/3 x + 3/2 y = 2 -> 4/3 x = 2 - 3/2 y -> x = 3(2 - 3/2 y)/4 = 6/4 - 9/8 y = 3/2 - 9/8 y Nota: pones 3/5 y - 4/3 y = a million, pero supongo que quieres decir 3/5 x - 4/3 y = a million 3/5 x - 4/3 y = a million 3/5 (3/2 - 9/8 y) - 4/3 y = a million = 9/10 - 27/40 y - 4/3 y = a million = 9/10 - 80 one/one hundred twenty y - a hundred and sixty/one hundred twenty y 9/10 - 80 one/one hundred twenty y - a hundred and sixty/one hundred twenty y = a million = 9/10 - 241/one hundred twenty y = a million -241/one hundred twenty y = a million - 9/10 = 10/10 - 9/10 = a million/10 -> -> y = (a million/10)(-one hundred twenty/241) = -12/241 -> y = -12/241 x = 3/2 - 9/8 y = 3/2 - 9/8 (-12/241) = 3/2 + 27/482 3/2 + 27/482 = 723/482 + 27/482 = 750/482 = 375/241 x = 375/241 y = -12/241 Otra forma de resolver un sistema con coeficientes fraccionarios es multiplicando ambas ecuaciones por factores que cancelen los divisores. Por ejemplo, el segundo sistema nos quedaría así 6 {4/3 x + 3/2 y = 2} Multiplicando toda la ecuación por 6 15 {3/5 x - 4/3 y = a million} Multiplicando toda la ecuación por 15 Así tenemos 8 x + 9 y = 12 9 x - 20 y = 15 Este sistema es más sencillo de resolver. 8 x + 9 y = 12 -> 9y = 12 - 8 x -> y = (12 - 8 x) / 9 9 x - 20 y = 15 -> 9 x - 20(12 - 8 x) / 9 = 15 Podemos multiplicar todo por 9 y tenemos 80 one x - 20(12 - 8 x) = one hundred thirty five -> 80 one x - 240 + a hundred and sixty x = one hundred thirty five -> -> 81x + a hundred and sixty x - 240 = one hundred thirty five -> 241 x = one hundred thirty five + 240 = 375 -> x = 375 / 241 y = (12 - 8 x) / 9 -> 9 y = 12 - 8 x = 9 y = 12 - 8 (375/241) Multiplicando todo por 241 tenemos 2169 y = 2892 - 8 (375) = 2892 - 3000 = -108 -> -> y = -108/2169 = -12/241 (simplificando la fracción) x = 375 / 241 y = -12/241 la verdad es que ambos sistemas son mucho más fáciles de resolver usando matrices y/o determinantes, pero no sé si los domines.

Answer 3

Metodo de reduccion:
resolver por reducción el sistema:
2x-5y=16
4x+y=10
se multiplican los dos miembros de la primera ecuación por 2 con el fin de que el coeficiente de la x sea el mismo en ambas ecuaciones: 4x – 10y = 32 y 4x + y = 10

Ahora, restando miembro a miembro se obtiene la ecuación siguiente:

– 11y = 22 →y = 22 : (– 11) → y = – 2.

Y se sustituye en una de las ecuaciones iniciales:

2x – 5(–2) = 16 → 2x + 10 = 16 → 2x = 6 → x = 3

La solución es x = 3, y = -2.

Suerte!!!

Answer 4

El método de reducción es bastante sencillo, por ejemplo:

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones
a)4x + 3y = 22
b)2x + 5y = 18

Lo que tenemos que hacer ahora es eliminar una de las variables ( x o y ) de cualquiera de las ecuaciones.

En este caso eliminamos 4x de la primera ecuación (a),

Cómo lo hacemos ?

Para resolverlo, tomamos la ecuación que esta abajo (b) y la multiplicamos por un número que nos permita eliminar al 4x.

Para encontrar ese número tomamos los coeficientes de ambas expresiones (4 y 2) y los dividimos. Dicho de otra forma que numero multiplicado por 2x me da 4x ?

k.2x = 4x =>
k = 4x/2x, como vemos el valor de “k” es 2.

Pero para eliminar 4x necesito que el valor sea -4x, por lo que multiplico la ecuación (b) por -2

4x + 3y = 22
2x + 5y = 18 (-2)

Lo que nos queda

4x + 3y = 22
-4x - 10y = -36

Ahora hacemos la resta entre ambas ecuaciones

4x + 3y = 22
-4x - 10y = -36
0x – 7y = -14,

Despejando “y” tenemos y = -14/-7, como la división de signos iguales es positivo

y = 2.

Ahora que tenemos el valor de “y”, lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales y obtenemos el valor de “x”. Tomamos la segunda

2x + 5y = 18 =>
2x + 5(2) = 18 =>
2x +10 = 18, pasando el 10 al otro lado de la igualdad con signo negativo, tenemos

2x = 18 – 10 =>
2x = 8 =>
x = 4

Ahora comprobamos, sustituyendo los valores de “x” e “y” en cualquiera de las ecuaciones originales
4x + 3y = 22 =>
4(4) + 3(2) = 22
16 + 6 = 22
22 = 22

Se cumple.

Saludos cordiales,

Answer 5

Métodos analíticos de resolución: Reducción: consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la x o los de la y sean iguales pero con signo contrario. A continuación se suman las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita. Una vez resuelta esta, hay dos opciones para hallar la otra incógnita: una consiste en volver a aplicar el mismo método (sería la opción más pura de reducción); la otra es sustituir la incógnita hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejar la otra. Veamos el proceso por fases.

Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,

Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.

Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.

Para este paso hay dos opciones:

Se repite el proceso con la otra incógnita.

Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.


De nuevo es evidente que todas las aclaraciones hechas en la sección del método de sustitución sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método.

Veamos de nuevo el mismo ejemplo de los métodos anteriores resuelto por el método de reducción:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.
Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:


x + y = 600
2x - y = 0


Vamos a resolver el sistema por el método de reducción. Para ello, teniendo en cuenta que, en ambas ecuaciones, la y tiene coeficientes opuestos, podemos pasar a sumar directamente ambas y nos quedará:


3x = 600 --> x = 600/3 --> x = 200
A partir de este momento es cuando se pueden aplicar caulquiera de las dos posibilidades descritas más arriba. Como en secciones anteriores ya hemos resuelto esta parte del problema sustituyendo la x para despejar la y, vamos ahora a utilizar la otra posibilidad, es decir, vamos a terminar el ejercicio con la forma más pura posible de aplicación del método de reducción. Para ello, vamos a volver a aplicar el método para hallar la y sin tener que recurrir a ninguna sustitución.

Multiplicamos la primera ecuación por -2 y obtendremos el siguiente sistema, equivalente al inicial:


-2x - 2y = -1200
2x - y = 0

Si sumamos ambas ecuaciones de este sistema tendremos:


-3y = -1200 --> y = 1200/3 --> y = 400

Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los métodos de sustitución e igualación.

Answer 6

Método de reducción.

Este método consiste en preparar las dos ecuaciones para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas. Restando las ecuaciones resultantes, miembro a miembro, se obtiene una ecuación con sólo una incógnita (se ha reducido el número de incógnitas).

Resumamos los pasos que debemos dar:

1º. Se preparan las dos ecuaciones (multiplicándolas por los números que convenga).

2º. Al restarlas desaparece una de las incógnitas.

3º. Se resuelve la ecuación resultante.

4º. El valor obtenido se sustituye en una de las iniciales y se resuelve.

5º. Se obtiene, así, la solución.

*Ejercicio resuelto por el método de reducción:

3X+4Y=9

5X+2Y=15

Puesto que el coeficiente de la y en la primera ecuación es doble que en la segunda, multiplicando ésta por 2 se igualarán los coeficientes. Restando, se eliminará esta incógnita.

3X+4Y=9

5X+2Y=15
Multiplicando por -2:

3X +4Y= 9
-10X-4Y= -30

; ahora sumando ambas ecuaciones se obtiene lo siguiente:
-7x = -21;
x = 3;

Ahora sustituimos x=3 en cualquiera de las expresiones inciales 3x+4y=9
3·3+4y=9
4y=0
y=0.

6. Reglas prácticas para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Si una o las dos ecuaciones del sistema tienen un aspecto externo complicado, se empieza por “arreglarlas” hasta llegar a la expresión ax+by=c.

Recordemos las ventajas de cada uno de los tres métodos aprendidos:

* El método de sustitución es especialmente útil cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1 ó -1 en alguna de las ecuaciones.


* El método de reducción es muy cómodo de aplicar cuando una de las incógnitas tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones o bien sus coeficientes son uno múltiplo del otro.

* Si queremos evitar las operaciones con fracciones, podemos conseguirlo aplicando dos veces el método de reducción para despejar, así, una y otra incógnita. Este consejo es especialmente útil cuando los coeficientes de las incógnitas son números grandes.