Magie der 243 oder gibt es eine mathematisch-schöne Erklärung?

Question

Der Bruch 1/243 ergibt das wunderbar anzuschauende Ergebnis 0,00411522633744855966 ... usw.
Gibt es etwas besonderes an der 243, was im beschriebenen Bruch zu einer solch gleichmäßigen Sequenz der Nachkommastellen führt?

An Stefan E:

Vielen Dank für die ausführlichen Kommentare ... bin auf die Besonderheit der 243 von einem amerikanischen Kollegen hingewiesen worden ... war ein nettes Gespräch beim dritten Bier ... (also ganz banal ..)

Answer 1

Leider nicht. Mathematisch gesehen ist die 243 eine Zahl wie alle anderen ungeraden und durch 3 und 9 teilbaren Zahlen. Ist also noch nicht mal eine Primzahl. :-)

Sie macht allerdings einen besonders harmonischen Eindruck, weil die erste Ziffer mit sich selbst multipliziert die zweite ergibt und die dritte Ziffer um eins kleiner als die mittlere und um eins größer als die erste ist, also vom Wert her zwischen erster und zweiter Ziffer liegt.

Answer 2

Die genaue Periode ist
0,004115226337448559670781893 ... 00411522 ... usw.
Statt 966 steht da aber 967 und das Bildungsgesetz für die Periode scheint abzureißen. Trotzdem kann man das Bildungsgesetz über die ganze Periode hinweg "retten". Nach der 966 käme ja wohl die 1077. Die 10 ist aber zweistellig und deswegen hat nur die Null Platz und die erste Ziffer der 10 muss zur letzten 6 von 966 addiert werden, womit sich 967 077 ergibt, worauf die 11 88 folgen müsste. Die 11 hat aber wieder keinen Platz, so dass man ihre führende 1 auf die letzte 7 addieren muss, womit sich 967 078 188 ergibt. Die folgende 12 99 hat bei dieser Regel einen doppelten Übertrag zur Folge, so dass sich schließlich statt 299, die 300 anschließt, wobei die der 12 vorangehende 1 die letzte 8 aus 967 078 188 um 1 erhöht, man also 967 078 189. Mit 300 beginnt dann die Periode von neuem und man kommt bis zum Auftreten der ersten 9 ohne Übertrag aus. Wow, da hast du mich aber auf eine nette magische Eigenschaft von 243 hingewiesen! Gefällt mir! Hoffe meine Erklärung des Bildungsgesetzes ist einigermaßen verständlich. Leider bin ich kein Zahlentheoretiker und kann ich dir deshalb nicht aus dem Stand eine mathematisch-schöne Erklärung für diese magische Eigenschaft geben. Ich vermute mal, dass es damit zu tun hat, dass 243 = 3^5 ist, also zweimal die 9 als Faktor enthält, und die 9 in Bezug auf die Basis 10 unseres Zahlensystems zu besonderen Effekten führt, wenn es um periodische Zahlen geht. Bitte schreib doch, wie du diese Eigenschaft der 243 entdeckt hast!

Ich habe mir inzwischen weitere Gedanken gemacht, auf was die magische Eigenschaft der 243 zurückgeht. Hier das Ergebnis meiner Überlegungen: Listet man den ganzzahligen Rest beim Teilen durch 243, so erhält man die folgende unscheinbare Zahlenfolge:
1,10,100,28,37,127,55,64,
154,82,91,181,109,118,208,136,
145,235,163,172,19,190,199,
46,217,226,73, … 1,10,100 usw. … Diese Zahlen haben bei Division durch 9 alle den Rest 1. Wenn man das ganzzahlige Ergebnis der Division durch 9 dieser Zahlen berechnet, so erhält man:
0,1,11,3,4,14,6,7,17,9,10,
20,12,13,23,15,16,26,18,
19,2,21,22,5,24,25,8,
0,1,11 usw. ... Diese Liste lässt ein einfaches Bildungsgesetz erkennen: z(n+1) = z(n) + 1, falls n durch 3 teilbar ist, z(n+1)= (z(n) + 10) modulo 27, falls n=1 modulo 3 (also n den Rest 1 hat, wenn man es durch 3 teilt), sowie z(n+1)=z(n)-8 , falls n=2 modulo 3.
Wie man sieht, spielen die 3er-Potenzen 3,9 und 27- alles Teiler der 243 - in dieser Regel die zentrale Rolle. Aber auch der Bezug zur Basis unseres Zahlensystems ist offensichtlich. Dass – wie in anderen Fällen auch - die Beziehung von 9 und 10 eine wichtige Rolle spielt, wird deutlich, wenn man die Differenzen der Reste bildet:
9,90,-72,9,90,-72,9,90,-72,
9,90,-72,9,90,-72,9,90,-72,
9,-153,171,9,-153,171,9,
-153,-72,9,90, usw. ... wobei zu beachten ist, dass -153=90 modulo 243.

Alle diese Gesetzmäßigkeiten und Zusammenhänge beim ganzzahligen Teilen durch 243 schlagen sich letztlich in dem von mir schon ausführlich erläuterten Bildungsgesetz für die Periode nieder.

Answer 3

Nein nichts besonderes an dieser Zahl. Blanker Zufall daß der Dezimalbruch so aussieht. Wenns interessiert: wie sieht sie denn in den folgenden Stellen aus: enttäuschend.

Answer 4

Probiers mal aus, das gibts recht oft.