fare la verifica di questo limite?

Question

Non ho saputo fare la verifica di questo esercizio di :
Lim X-9/√x -3 = 6
X→9

numeratore X-9 e denominatore √x -3
√x = radice quadrata di X
chi riesce arisolvere questo esercizio?
buona fortuna

Answer 1

ponimao:
rad(x): radice quadrata di x
/: simbolo di frazione
mod{n}: modulo del valore n che sta tra le graffe
*: simbolo di moltiplicazione
a^m: potenza base a ed esponente m
abbiamo:

lim [(x-9)/(rad(x) - 3)] = 6
x tende a 9

se tale limite è corretto allora tra le soluzioni della disequazione

mod {[(x-9)/(rad(x) - 3)] - 6} < e (1)

ove e è un nuero positivo arbitrario, c'è un intorno di 9.

Risolviamo la disequazione (1):

innanzitutto razionalizziamo la frazione che definisce la funzione moltiplicando numeratore e denominatore della steassa frazione per rad(x)+3:

[(x-9)/(rad(x)-3)]*[(rad(x)+3)/(rad(x)+3)]=rad(x)+3

quindi la (1) diventa

mod{[rad(x)+3]-6} mod{rad(x) - 3} -e 3 - e
elevando tutti e tre i membri al quadrato

(3-e)^2
ora osserviamo che

3-e<3<3+e, da cui elevando tutti e tre i membri al quadrato segue
(3-e)^2<9<(3+e)^2

il che significa che le soluzioni trovate sono un intorno di 9 e il limite è esatto (cioè verificato)

Answer 2

| (x-9) / (sqrt(x) -3) - 6 | < e
| ((x-9) - 6* sqrt(x) + 18 ) / (sqrt(x) - 3) | < e
| (x - 6* sqrt(x) + 9) / (sqrt(x) - 3) | < e
| (sqrt(x) -3) | < e
| (x-9)/ (sqrt(x) +3) | < e
| x - 9 | < e * |(sqrt(x) + 3)| =: d
Perciò: per un f(x) compreso in un intorno di 6+/-e troverai una x comresa in un intorno di 9+/-d.
E quindi lim_(x->9) f(x) = 6.

Answer 3

(x-9)/(sqrt(x)-3) moltiplicando numeratore e dnominatore per (sqrt(x) + 3) si ha = (x-9)*(sqrt(x)+3)/x-9 = sqrt(x)+3 per x tend. a 9 si ha sqrt(9) = 3 quindi li limite è 3 + 3 = 6.

Answer 4

Fare la verifica significa applicare la definizione di limite. ovvero ponendo |((x-9)/radx-3)-6|