ciao ragazzi.....chi mi spiega come si calcolano i punti stazionari di una funzione?grazie...?

Answer 1

i punti stazionari (o punti critici) di una funzione sono i punti in cui la derivata prima si annulla, quindi per trovarli devi calcolare la derivata della fz e porla = 0.
ciao!

Answer 2

I punti stazionari di una funzione annullano le derivate parziali prime. Quindi la prima cosa da fare è colcolarle, metterle a sistema e trovare tali punti.
Successivamente devi costruire una matrice formate dalle derivate parziali seconde pure e miste, precisamente è la seguente:
| fxx fxy |
| fyx fyy |

Il determinante di tale matrice viene chiamato Hessiano.
Calcolato il determinante, lo devi valutare nei punti critici trovati, quindi andare a sostituire le coordinte.
Se l'Hessiano è > 0 adesso devi considerare le derivate seconde pure in tale punto,
se risultano entrambe positive, allora il punto è di minimo
se risultano entrambe negatice, allora il punto è di minimo-

Se l'Hessiano è = 0, allora si deve procedere in altro modo. Un modo potrebbe essere quello di considerare la restrizione della funzione su determinate rette, in modo che risulti essere di una sola variabile e controllare se quel punto sia di minimo o di massimo.

Se l'Hessiano è < o, allora il punto non è nè di minimo, nè di massimo.

Ciao!!!
Lulisja

Answer 3

Data una funzione f da R^n a R di classe C^1 (con derivate prime continue) i suoi punti critici sono quelli in cui il gradiente di f (vettore delle derivate parziali) si annulla.

Per calcolare il gradiente devi calcolare le varie derivate parziali. Perché si annulli il gradiente si devono annullare tutte le derivate parziali, quindi in generale devi risolvere un sistema di n equazioni non lineari in n incognite.

Per calcolare una derivata parziale devi derivare rispetto a una sola variabile e trattare le altre variabili come costanti. Per esempio, se f(x, y)=x^2 + sin(xy) allora le derivate parziali sono f_x(x, y) = 2*x + y*cos(xy) e f_y(x, y)=x*cos(xy).

Se poi ti interessa vedere la natura dei punti critici devi studiare la derivata seconda o, se hai una funzione di più variabili, la matrice delle derivate seconde o hessiana. In tal caso, la funzione dev'essere di classe C^2 (nel caso di due variabili).

Per calcolare le derivate seconde devi calcolare le derivate parziali delle derivare parziali. Se la funzione è C^2 (sempre nel caso di due variabili) allora le derivate rispetto alla x e alla y e rispetto alla y e alla x sono uguali.

Una volta calcolata la matrice hessiana devi calcolarne gli autovalori: se gli autovalori sono tutti strettamente positivi, il punto è di minimo locale; se sono tutti strettamente negativi, il punto è di massimo locale. Se esiste almeno un autovalore positivo e uno negativo, allora il punto è di flesso. Altrimenti, se gli autovalori sono nonnegativi, il punto potrebbe essere di minimo; se gli autovalori sono nonpositivi, il punto potrebbe essere di massimo.

Per i massimi/minimi globali devi confrontare i valori della funzione dei massimi/minimi locali e trovare il massimo/minimo tra questi.

Se ti interessano i punti critici vincolati, devi usare i moltiplicatori di Lagrange. Sia {g=0} il vincolo, allora i punti critici sono le soluzioni del sistema di due equazioni g=0 e gradiente f=c*gradiente g, dove c è un numero reale da determinare. Per esempio se ti interessano i punti critici sulla circonferenza di raggio 1 in R^2, allora il vincolo g è g(x, y)=x^2+y^2-1=0.

Answer 4

Nell'analisi matematica si chiama punto critico o punto stazionario una funzione derivabile definita su un insieme aperto dei numeri reali a valori reali

L'uso della parola "critico" è dovuto al fatto che nelle vicinanze di un punto che non è critico la struttura topologica di una funzione è sempre la stessa: quella di una retta crescente o decrescente (come si può vedere approssimando la funzione con la retta tangente) e la funzione è invertibile, mentre nelle vicinanze un punto su cui la derivata è nulla si possono avere comportamenti "atipici" con punti di massimo o minimo.

In matematica per studio di funzione si intende quell'insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare una funzione f(x) al fine di determinarne alcune caratteristiche qualitative. Uno studio di funzione correttamente condotto permette di tracciare il grafico della funzione.
Determinazione dell'insieme di definizione
Per determinare l'insieme di definizione (dominio) di una funzione assegnata in termini di funzioni elementari, a meno di indicazioni esplicite, si deve individuare il sottoinsieme dei reali più esteso entro il quale l'espressione che la definisce non perda di senso. In particolare conviene porre l'attenzione alle seguenti evenienze:

le funzioni fratte non esistono nei punti dove il denominatore si annulla,
le funzioni sotto radice di esponente pari non esistono se il radicando è minore di zero,
le funzioni logaritmiche non esistono nei punti dove l'argomento è minore o uguale a zero.
Simmetrie e periodicità
Si deve porre l'attenzione alle eventuali simmetrie e periodicità della funzione che, se individuate, semplificano notevolmente lo studio della funzione.

Può essere utile a questo punto cominciare ad individuare alcuni punti del piano che stanno sul grafico della funzione, in particolare si è soliti cercare le eventuali intersezioni con gli assi cartesiani.

Per determinarle si opererà come segue:

intersezioni con l'asse x: sono i punti di coordinate (x,0) dove x è soluzione dell'equazione f(x) = 0. Si possono presentare diverse eventualità:
l'equazione potrebbe non avere soluzioni, e in questo caso la funzione non ha intersezione con l'asse x,
potrebbe avere una o più soluzioni, ma comunque un numero finito di soluzioni (e quindi un numero finito di punti di intersezione),
ma potrebbe anche averne infinite.
intersezione con l'asse y: l'intersezione con l'asse y esiste solamente se lo 0 (zero) appartiene al dominio della funzione, nel qual caso questa intersezione è unica per definizione stessa di una funzione, e sarà il punto di coordinate (0,f(0)).
[modifica] Segno della funzione
Ci si chiede ora di studiare il segno della funzione, cioè ci si chiede quando la funzione è positiva (sopra l'asse x) o negativa (al di sotto dell'asse x). In altre parole quali sono i valori della x appartenenti al dominio tali che sia soddisfatta la disequazione f(x) > 0 e quali invece siano tali che sia soddisfatta la f(x) < 0.

Può essere molto utile a questo punto annerire su un piano cartesiano tutte le zone in cui il grafico della funzione non può passare, se ad esempio nell'intervallo (a,b) la funzione risultasse positiva si annerirà la zona del piano sotto l'asse x, dove x è compresa fra a e b.


[modifica] Calcolo dei limiti
Una volta stabilito il dominio e le particolari caratteristiche che può avere la funzione, si studia il comportamento della funzione sulla frontiera del dominio. In particolare si andrà a calcolare i limiti per x che tende a

se il dominio è illimitato inferiormente
se il dominio è illimitato superiormente
se c è punto di accumulazione del dominio ma non è un suo punto interno. In alcuni casi sarà necessario limitarsi a calcolare solo il limite destro o il limite sinistro.

[modifica] Continuità / Discontinuità della funzione
Si veda funzione continua e punto di discontinuità.
Il calcolo dei limiti permette di verificare la continuità di una funzione o di valutarne le discontinuità.


[modifica] Individuazione degli asintoti
Con il calcolo dei limiti si è in grado di individuare anche l'esistenza di eventuali asintoti sia verticali, orizzontali che obliqui:

asintoto verticale: è la retta di equazione x = c se ,
asintoto orizzontale: è la retta di equazione y = l se ,
asintoto obliquo: è la retta di equazione y = mx + q se si verificano nell'ordine le seguenti proprietà:



Da notare che potranno esserci:

da zero a infiniti asintoti verticali,
da zero a due asintoti orizzontali,
da zero a due asintoti obliqui.
Si devono inoltre precisare alcune caratteristiche specifiche:

le funzioni goniometriche non presentano alcun asintoto,
una funzione che ammette asintoti orizzontali, non ammette quelli obliqui e viceversa, mentre non c'è alcuna restrizione per gli asintoti verticali,
Un asintoto verticale esiste se e solo se ci sono dei candidati asintoti nel campo d'esistenza, ovvero se la funzione è definita su tutto il campo dei Reali, non esiste alcun asintoto verticale.

[modifica] Derivata prima
A questo punto si effettua il calcolo della derivata della funzione per studiarne la crescenza e stabilire l'esistenza di eventuali punti stazionari. Tramite lo studio del segno della derivata si è in grado di individuare eventuali punti di massimo o di minimo.

Si veda la voce sul punto estremante.
Ci si occuperà quindi di studiare il segno della funzione derivata in modo da individuare per quali valori di x essa è positiva, negativa o nulla.

dove f è derivabile e f'(x) > 0, f è crescente,
dove f è derivabile e f'(x) < 0, f è decrescente,
dove f è derivabile e f'(x) = 0, f ha nel punto x
un massimo relativo o un minimo relativo se il segno della derivata prima e dopo il punto x (cioè in un suo intorno) è discorde,
un punto di flesso se il segno della derivata è costante in un intorno di 'x.




[modifica] Derivata seconda
Per avere una maggiore precisione nello studio di una funzione si effettua inoltre lo studio della derivata seconda in modo da valutare se esistono punti di flesso (punti dove la derivata seconda si annulla) e intervalli di convessità.


[modifica] Relazione con derivata seconda
Se f'(x) è derivabile in x:

se f''(x) > 0 allora f è convessa in x,
se f''(x) < 0 allora f è concava in x,
se x è un punto di flesso allora la f''(x) = 0.

Answer 5

i punti stazionari sono quelli in cui la derivata prima si annulla.....lo sto studiando anch'io!

Answer 6

devi fare la derivata prima e poi vedere dove si annulla