AIUTO Problema sull'ellisse non riesco a risolverlo...........?

Question

Aiuto non riesco a risolvere questo problema di matematica... vi prego aiutatemi!!! sto impazzendo! la traccia è questa: Scrivere l'equazione dell'ellisse avente i funochi nei punti F(-5/2,-4) e F1(-1,-4) e passante per il punto P(-3,-5) Il risultato è 4x^2 + 5y^2 +14x +40y +81=0 GRAZIE 1000

Answer 1

Come dice giusto ribes, PER FORTUNA che non è ruotato l'ellisse, sennò è davvero difficile.
(La coordinata del secondo fuoco è sbagliata, dovrebbe essere F1(1, -4) )

Allora:
La distanza tra i due fuochi misura 7/2.
Poniamo la traslazione:
x'=x+7/4
y'=y+4
(scelgo la traslazione in modo che i fuochi sono sull'asse delle ascisse)

I due fuochi nel nuovo sistema di riferimento (x',y') sono F'(-3/4, 0) , F1'(3/4, 0).
Quindi c=3/4.
Il punto P nel nuovo sistema di riferimento è P'(-5/4, -1).
Adesso sai che la forma canonica dell'ellisse (nel sistema di rif. nuovo) è:
x'^2/a^2 + y'^2/b^2=1
Devi trovare a e b:
ma te sai che a^2=b^2+c^2 = b^2+ (3/4)^2 (formule dell'ellisse)
Quindi:
x'^2 / (b^2 + 9/16) + y'^2 / b^2 =1
risolvi con P'(-5/4, -1) e ottieni:
b= 3/2
da cui:
a= 3 * sqrt(5) / 4

Perciò:
16x'^2 / 45 + 4y'^2 / 9 =1
da cui:
16*x'^2 + 20*y'^2 - 45 = 0

ritornando nel vecchio sistema di riferimento:
x= x' - 7/4
y= y' - 4
si ottiene:
16*(x + 7/4)^2 + 20*(y + 4)^2 - 45= 0
4*(x + 7/4)^2 + 5*(y + 4)^2 - 45/4= 0
4*x^2 + 14*x + 5*y^2 + 40*y + 81 = 0

Un po' lungo il mio ragionamento, ma se lo capisci sei a posto!
Ciao!

Answer 2

Per tua fortuna l'asse della ellisse è paralello all'asse x (i due fuochi hanno la stessa ordinata)
Ellisse = luogo dei punti con costante la somma delle distanze dai fuochi.
Conoscendo il punto P possiamo calcolare la somma delle distanze =3/2*radq(5)
Adesso imponi la condizione che il punto P(x,y) sia tale che la somma delle distanze dai fuochi sia = a 3/2*radq(5)