campos electricos?

Question

Considere dos cortezas cilíndricas concéntricas infinitamente largas. La corteza interior tiene un radio R1 y posee una densidad de carga superficial uniforme σ1, mientras que la exterior tiene un radio R2 y densidad de carga σ2. Utilizar la ley de Gauss para hallar el campo eléctrico en las regiones rR2. b) ¿Cuál deberá ser el cociente de las densidades σ2/ σ1 y el signo relativo entre ambas para que el campo eléctrico existente sea cero cuando r>R2? ¿Cuál es entonces el campo eléctrico entre las cortezas? C) hacer un esquema de las líneas de campo en el caso indicado en el inciso b considerando σ1 positivo.

Answer 1

Ok, exactamente como tu dices, debemos calcular el campo electrico para todo valor de " r ", sabemos que esta nos dice :

integral cerrada ( E.dS) = q / Eo

E = campo electrico

ds = diferencial de superficie

ahora, tenemos densidades de carga superficiales, entonces no podemos usar volumenes, sino areas, ademas son cilindros, debemos hallar el campo primero para r < R1

Area = S = pi*r^2

ds = 2*pi*r*dr

entonces :

aplicando ley de Gauss :

E.(integral(ds)) = q / Eo

q = carga dentro de la esfera de radio "r", en este caso para radio "r"

E.pi*r^2 = q / Eo

dq = σ1*2*pi*r*dr*

q = pi*r^2*σ1

E*pi*r^2 = pi*r^2*σ1 / 2Eo

E = σ1 / Eo

Para R1 < r < R2

Aqui, lo que cambia es el diferencial de carga : tomamos un area entre R1 y R2, de radio "r" y este variara de R1 a R2 a la hora de integrar :

dq = σ2*2*pi*r*dr

q = σ2*pi*r^2

r va de R1 a R2

q = σ2*pi*( R2^2 - R1^2)

E.(integral(ds)) = σ2*pi*( R2^2 - R1^2) / Eo

E.pi*r^2 = σ2*pi*( R2^2 - R1^2)

E = σ2( R2^2 - R1^2) / r^2*Eo

Ahora analizemos para r > R2 :

La carga total de las cortezas :

q1 + q2 :

dq1 = σ1*2*pi*r*dr

q1 = σ1*pi*R1^2

dq2 = σ2*2*pi*rdr

q2 = σ2*pi*(R2^2 - R1^2)

q1 + q2 = σ2*pi*(R2^2 - R1^2) + σ1*pi*R1^2

Usando ley de Gauss :

E.integral(ds) = σ2*pi*(R2^2 - R1^2) + σ1*pi*R1^2 / Eo

E*pi*r^2 = σ2*pi*(R2^2 - R1^2) + σ1*pi*R1^2 / Eo

E = σ2*(R2^2 - R1^2) + σ1*R1^2 / r^2Eo

Ahi tienes los campos.

Para que el campo electrico para r > R2 sea cero, la carga debe ser cero verdad ?

carga total : σ2*pi*(R2^2 - R1^2) + σ1*pi*R1^2

σ2*pi*(R2^2 - R1^2) + σ1*pi*R1^2 = 0

σ2/ σ1 = - R1^2 / R2^2 - R1^2

σ2/ σ1 = R1^2 / R1^2 - R2^2 >>> condicion


c) El campo entre las cortezas :

σ2( R2^2 - R1^2) / r^2*Eo = E

la condicion que calculamos : σ2/ σ1 = R1^2 / R1^2 - R2^2

σ2 = -σ1(R1^2 / R2^2 - R1^2)

luego : E = -σ1*R1^2 / r^2*Eo

La grafica, la grafica si hazla tu, pero espero te haya servido tooodo el procedimiento.