ci sono formule per calcolare la lunghezza di un curva costante?

Question

io ne ho inventata 1 , ma forse mi complico la vita per niente,

cosa vuoi dire per angolo?

Answer 1

ne esiste una che tiene conto della formula esplicita con cui è possibile esprimere la curva.

Sia data la coppia di leggi: x(t) e y(t), con cui si parametrizzano l'ascissa e l'ordinata dei punti appartenenti alla curva.

Si calcola la funzione: f(t) = sqrt(x'(t)^2 + y'(t)^2)

Si integra la funzione nel dominio di definizione di t. Il risultato dell'integrale è proprio la lunghezza della curva.

ESEMPIO: lunghezza di un tratto di parabola compreso tra x=x1 e x=x2

si fissa x = t; y = a*t^2 + b*t + c;

x'(t) = 1; y'(t) = 2*a*t + b;

f(t) = sqrt(1 + (2at + b)^2);

si integra in t che va da x1 e x2 e si ottiene la lunghezza dell'arco di parabola.

LEGENDA:
* : operatore di moltiplicazione;
x'(t): derivata di x rispetto alla v.ind. t;
^2: elevamento al quadrato;
sqrt: funzione radice quadrata.

Answer 2

Sia r(t) un vettore parametrizzato con t in R^n, supponiamo sia derivabile in un intervallo. r'(t) è la derivata della funzione vettoriale rispetto a t nel dato intervallo. La lunghezza di una curva da r(t1) a r(t2) è esprimibile con un integrale:
S = int( |r'(t)|dt, t1,t2)
Dove |r'(t)| è il modulo del vettore r'(t).

Esempio:
Cerchio di raggio 2, in R^2.
x(t)= 2 cos(t)
y(t)= 2 sin(t)

Deriviamo:
x'(t)= -2 sin(t)
y'(t)= 2cos(t)

Il modulo di r'(t) è
|r'(t)|^2 = (-2* sin(t))^2 + (2* cos(t))^2 = 4* (cos^2(t) + sin^2(t)) = 4
|r'(t)| = 2

Adesso calcoliamo l'integrale sull'intera circonferenza, vale a dire da r(0)=0 a r(2*pi)= 0
La lunghezza sarà:
S=int ( 2dt, 0, 2*pi) = 2*t |(0, 2*pi) = 2*2*pi = 4*pi
che guarda caso ottieni lo stesso valore con la formula della circonferenza r*2*pi inserendo 2 al posto di r.


Ciao!

Answer 3

Che cosa intendi per curva costante??
Forse intendi una linea a curvatura costante.
Comunque se la formula è l'integrale del modulo della forma parametrizzata dell'equazione, guarda che vale per tutte le curve e esiste da più di un secolo.

Answer 4

Non mi è chiaro il riferimento alla curva "costante". Per come la intendo io, una curva costante corrisponde a un punto. Cosa intendevi dire con la tua terminologia?

Comunque: una curva è una funzione f(t) dove f manda un intervallo [a, b] di R in R^n. Data una curva f(t) si definisce la velocità della curva come f'(t) (la derivata della curva) e la lunghezza come l'integrale della norma di f'(t) tra a e b, dove la norma di x=(x_1, x_2, ..., x_n) in R^n è la radice quadrata di x_1^2 + x_2^2 + ... x_n^2.

Per esempio, nel caso di un segmento su una retta (t, c*t+d) nel piano (caso n=2), la sua derivata è (1, c) e la norma vale radice di 1+c^2 e l'integrale tra a e b è semplicemente (b-a)(1+c^2)^(1/2) (integrale di una costante).

In questo modo, in linea di principio, si può calcolare la lunghezza di qualsiasi curva regolare (con derivata continua e diversa da 0 in ogni punto). Il problema è che ci sono pochi integrali di cui si conosce la primitiva e senza la primitiva l'integrale definito non si calcola se non in casi speciali, ad esempio se è possibile usare il teorema dei residui dell'analisi complessa.

Answer 5

in ogni caso è l'integrale definito della funzione da dove vuoi a dove vuoi di2pigreco*(radice)(1+funz)