radici reali o complesse?

Question

Come si fa a capire se un'equazione ha radici reali o complesse?
grazie..ciao

Answer 1

Anche se un'equazione polinomiale è a coefficienti reali non è affatto detto che abbia radici reali. L'esempio classico è x^2+1=0 che ha come soluzioni +i e -i. Per le equazioni di grado 1, 2, 3, 4 è possibile calcolare esplicitamente tutte le soluzioni con delle formule radicali. Sfortunatamente non esistono formule al più radicali per le equazioni di grado maggiore o uguale di 5.

Se il grado dell'equazione è alto, si può abbassare individuando alcune radici e cercando le rimanenti: se p(x)q(x)=0 è l'equazione in questione, le radici di quest'equazione sono le radici di p(x)=0 e q(x)=0 perché i numeri reali sono un dominio di integrità (ovvero, in particolare, vale la legge dell'annullamento del prodotto). Una strategia comune in questi casi è quella di usare Ruffini per cercare le radici razionali. Se poi ad esempio l'equazione dipende solo da x^2 si può dimezzare il grado dell'equazione: ad esempio x^4+2x^2+1 dipende solo da x^2 e ponendo y=x^2 si ottiene l'equazione y^2+2y+1=0 che ha soluzioni y=-1. Quindi x^2=-1 ovvero x=-i, +i (nessuna soluzione reale). Questa particolare equazione si chiama biquadratica e il processo si generalizza in modo ovvio ponendo y=x^k, k>=2. Naturalmente poi bisogna risolvere l'equazione y=x^k ma quest'equazione speciale si sa risolvere sempre usando la formula di De Moivre.

Una volta individuata una radice si può provare a vedere se ha molteplicità maggiore di 1. Un modo per trovare le radici multiple di un'equazione polinomiale p(x)=0 è quello di considerare l'equazione p'(x)=0 dove p'(x) è la derivata di p(x). Quest'equazione ha grado di uno inferiore alla precedente e le sue soluzioni sono tutte e sole le radici multiple.

Se l'equazione è di grado dispari allora, per il teorema degli zeri (o equivalentemente il teorema dei valori intermedi) esiste almeno una radice reale.

In generale, se un'equazione è di grado n allora ammette n radici in C (insieme dei numeri complessi - contenente R insieme dei numeri reali) contate con la loro molteplicità. Queste radici, in generale, sono complesse ma possono anche essere tutte reali. Se il polinomio è a coefficienti reali, le radici complesse sono sempre in numero pari perché se a+ib è radice allora a-ib (coniugato di a+ib) è radice.

L'analisi complessa, l'algebra e in particolare la teoria dei numeri possono rispondere (in parte) al problema.

Se l'equazione è a coefficienti interi o razionali si possono individuare alcune radici intere o razionali usando tecniche algebriche.

Usando il teorema di Rouché, invece, è possibile individuare un disco del piano complesso dove queste radici sono localizzate.

Il problema, in generale, è comunque piuttosto difficile e si può dire qualcosa solo in casi fortunati.

Answer 2

Se è di primo grado ed è determinata ha sicuramente una e una sola soluzione reale
Se è di secondo grado controlli il segno del delta.
Se è di grado superiore usa Ruffini e scopritelo da solo.

Answer 3

beh per spegartela in modo semplice:

qualsiasi polimomio ha minimo una radice nel campo dei numeri complessi,e ció anche se il grafico del polinomio non interseca l'ascissa!esistono pero anche polinomi che hanno soluzioni complesse anche se il loro grafico interseca l'asse(anche se con un opportuno calcolo si puo estrapolare la soluzione reale)!

l'unico metodo per capire se il polinomio ha radici reali o complesse é fare il calcolo delle radici e vedere se c'é un numero negativo sotto qualche radice!se si allora il polinomio ha radici complesse:

sqrt(-a) = i * sqrt(a)

per fare i calcoli con i numeri complessi immaginati il numero complesso come un binomio semplice (a + ib) nel quale i é una variabile (ricordando che i^2= -1),esempio:

(a + ib)(c + id) ==> (a+bx)(c+dx)= ac + adx + cbx + bd x^2 =
((ac - bd) + i (ad + cb) )

questa regola vale per tutti gli altri calcoli!

Answer 4

Vorrei con tutto il cuore aiutarti ma purtroppo riconosco i miei limiti ed in qeusto sono davvero negata...dovresti spiegarmi tu per primo cos'e una radice...;-)

Answer 5

non ci sono metodi. L'unica cosa certa è che se l'equazione ha grado dispari, allora ha almeno una soluzione reale.

Per le equazioni di 2° grado si possono proprio calcolare; altrimenti, guardando il segno dei parametri, del discriminante, si può semplicemente dire la natura delle soluzioni.
Per le algebriche di grado superiore, solo in alcuni casi particolari ci sono metodi e formule; per il resto, solo l'esperienza e qualche metodo di analisi numerica.

Al di là di questo, si sa che se il grado dell'equazione è n , allora ci sono esattamente n soluzioni; tra queste, se ce ne è una complessa, allora tra le soluzioni c'è anche la compless
ciao.

Answer 6

non vorrei dire stupidagini ma ma per le equazioni di 2 grado basta guardare il delta (il valore che nella formula sta sotto la radice quadrata) se e' positivo hai soluzioni reale se e' negativo hai soluzioni complesse se e' uguale a 0 hai un'unica soluzione di molteplicita' 2....
se hai a x^2 + b x + c
il delta e' b^2 - 4ac
per quello di grado superiore devi ridurle e calcolarti i singoli valori (dovrebbe esistere anche una formula specifuca per le equazioni di 3 grado.....) ciao

Answer 7

mmmmm sn le 0.21 e proprio ora non ho la testa per qst.... boooo