nous allons justifier que (Racine carré de)2 est le minimum de f (avec f(x)=1/2(x+2/x)) sur ]0 ; + (l'infini)[

Question

Nous allons justifier que (Racine carré de)2 est le minimum de f (avec f(x)=1/2(x+2/x)) sur ]0 ; + (l'infini)[. Pour cela étudier le signe de f(x)-(racine carré de)2 = g(x)
1.
a) Aprés avoir mis 1/2x en facteur dans g(x); factoriser complètement g(x) à l'aide d'une identité remarquable.

b) Déduire de cette factorisation la solution de f(x)=(racine carré de)2, puis le signe de g(x) et enfin que (racine carré de)2 est le minimum de f(x) sur ]0 ; + (l'infini)[

2. Comparer (f(x)-(racine carré de)2) / (x-(racine carré de)2) avec 1. Que signifie le fait que (f(x)-(racine carré de)2) / (x-(racine carré de)2) soit plus que 1 ? justifez rapidement.

En vous servant du 1), justifiez que (f(x)-(racine carré de)2) / (x-(racine carré de)2) = 1/2(1-((racine carré de)2)/(x)).

Answer 1

Si c'est un prof qui vous a demandé de suivre ce raisonnement, va falloir le ramener à la simplicité!!
Car, pour chercher le minimum de f(X) sur R+, il suffit de dériver f: f'=1/2 (1-2/X^2) qui s'annule pour x= Racine de 2 et pour cette valeur de x, f(x)=Racine de 2 aussi! Reste à montrer que f décroit de 0 à Rac2 puis croit ensuite; il suffit de voir que la dérivée est <0 avant et >0 après Rac2.
Votre raisonnement ignore les dérivées et consiste à montrer que g(x) est positive ou nulle sur R+, nulle pour Rac2 qui est donc le minimum.
Le point 2 est curieux, c'était plus intéressant de comparer à 1/2 qu'à 1, car l'expression représente la pente de la sécante qui joint un point quelconque de la courbe de f(x) à son point minimum, elle est toujours inférieure à 1/2, et tend vers 1/2 quand x tend vers l'infini: la courbe admet comme asymptote oblique y=x/2.
CQFD

Answer 2

Pour répondre à la question précédente : c'est peut-être un problème destiné aux élèves de 2nde, qui ne connaissent pas la dérivée, ou de 1eS s'ils ne l'ont pas encore vue.

Bah, sinon, ça ne ma paraît pas très difficile. Peut-être es-tu bloqué sur la factorisation ? Eh bien il suffit d'écrire que (je détaille bien les étapes) :

g(x)=1/2(x+2/x)-rac(2)
=1/2(x+2/x-2rac(2))
=1/2(x^2/x+2/x-2xrac(2)/x)
=1/2x(x^2+2-2xrac(2))
=1/2x(x^2-2xrac(2)+2)
=1/2x(x^2-2xrac(2)+(rac(2))^2)
=1/2x(x-rac(2))^2 en reconnaissant l'identité remarquable.

Pour le b, il faut juste utiliser que f(x)=rac(2) si et seulement si f(x)-rac(2)=0, soit g(x)=0 et utiliser la factorisation précédente.

Dans le 2., Pour comparer avec 1, tu fais comme d'habitude : tu étudies le signe de la différence. Enfin, pour la dernière question, il faut se rendre compte que le rapport qu'on te demande de considérer peut s'écrire g(x)/(x-rac(2)) et se simplifie donc par (x-rac(2)) grâce à la factorisation du début. Je te laisse finir.