Problème dérivée!?

Question

Une maison a une base carrée et un volume habitable parallélépipedique de 768m^3. Le coefficiant de perte de chaleur par unité de surface est trois fois plus élevé pour le plafond que pour les murs. On suppose qu'il n'y a pas de perte de chaleur par le plancher. Quelle doivent être les dimensions de la maison pour que la perte de chaleur soit minimale?

Je n'arrive pas à trouver la fonction,
f(x)=( X² + ( 768 / X² ) x 3 ) x k ??
ou
f(x)=( X² x 3 + ( 768 / X² ) ) x k ??

Answer 1

yo
pour moi la fonction est f(x) = k*(3x2 + 4*768/x)
où x est le côté de la base de la maison.
Voilà le reste, sans garantie, à toi de vérifier.


variable maison: x (côté), y (hauteur)
surface murs = 4xy
surface plafond = x2
volume = x2y
y=768/x2
kp = 3 km

perte de chaleur par le plafond:
kpx2

perte de chaleur par les murs:
4kmxy

f(x)= kpx2 + 4kmxy
= k*(3x2 + 4*768/x)

f'(x)= 6kx - 4*768k/x2
f'(x)= 0 si x = racine cubique de 4*768/6 soit x = 8

C'est fini!!!!

Answer 2

h:Hauteur, b:base
Volume V=h.b.b=768m3 donc h=768/b.b
Aire du plafond S=b.b
Aire des murs A=4b.h

Perte de chaleur P=k(3S+A)=k(3b.b+4b.h)=k(3b.b+4b(768/b.b))
P=k(3b2+(4.768/b)
dP/db=0 donne la solution

Answer 3

La perte de chaleur est proportionnelle à la surface des murs 4XH plus 3 fois le plafond X^2 où X est le côté de la base carrée et H la hauteur. Et comme le volume X^2*H=768, on a H=768/X^2.
L'expression à minimiser est donc:
3X^2+4*768/X dont il faut annuler la dérivée 6X-4*768/X^2; on a donc:
X^3=2*768/3=512 donc X=8 mètres, ce qui est une grandeur correcte pour deux ou 3 étages.
CQFD