Mi spiegate cosa sono i "numeri complessi"??

Question

Tenendo però conto che spiegate ad uno che conosce tutti i numeri fino a quelli reali. è per la mia cultura generale. ringrazio anticipatamente a tutti coloro che risponderanno.

Answer 1

Il campo dei numeri complessi è l'insieme C= RxR delle coppie ordinate (x,y) per cui valgono le seguenti operazioni:
+: C x C --> C
(a,b),(x,y) --> (a+x, b+y)
*: C x C --> C
(a,b),(x,y) --> (ax-by, ay+bx)

Ogni coppia ordinata (a,b) = z è esprimibile nel seguente modo:
z = (a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (0,1)*(b,0)
Dove:
(a,0) := a
(b,0) := b
(0,1) := i
Da cui per z appartenente a C:
z= a + i*b
dove a e b sono dei numeri appartenenti a R

(infatti vi è un isomorfismo:
R --> C
x --> (x,0)
)

Si può verificare che i^2=-1:
(0,1)*(0,1) = (-1,0) = -1

Le coppie ordinate (x,y) in C sono rappresentabili graficamente utilizzando il piano di Gauss, dove l'asse delle ascisse rappresenta l'asse reale, mentre quello delle ordinate rappresenta l'asse immaginario.

Re(z= x + i*y)= x
è detta parte reale del numero complesso z
Im(z)= y
è detta parte immaginaria del numero complesso z.

Answer 2

è un numero difficile. a parte gli scherzi è una coppia di numeri in cui il secondo i è uguale a radice di -1

Answer 3

Ciao,
se conosci i numeri reali sai che questo, fino ad ora, è l'insieme più grande che conosci; esso comprende tutti gli altri numeri con cui dovresti già avere dimestichezze (interi, relativi, razionali..). L'insieme dei numeri complessi (o immaginari) comprende l'insieme dei numeri reali (ed ovviamente tutti gli altri). In generale puoi considerare che i numeri complessi siano generati da un'estrazione di radice che non avrebbe senso nell'insieme dei numeri reali...è il classico esempio della radice quadrata di un numero negativo (ricordi...qualè è quel numero che elevato al quadrato da un numero negativo?? ....nessuno appunto...TRANNE che per un numero immaginario). Senza scendere troppo nei particolari, considera che alla radice quadrata del numero -1, per definizione, è dato il nome di unità immaginaria, in genere denominata con "i" oppure "j" (iota). Generalmente i numeri immaginari possono essere composti da una parte "reale" e da una parte immaginaria, per esempio 3+5j è un numero immaginario la cua parte reale è 3 e la cui parte immaginaria e 5j. se dovessimo sommare questo numero con un altro, per es. 7+3j, considera che non puoi sommare parte reale e parte immaginaria insieme ma DEVI sommare la parte reale e la parte immaginaria separatamente, ottendendo quindi 10+8J. Se ti è più facile puio immaginare questi numeri su un grafico cartesiano (proprio quello che già conosci con x e y) in cui sull'asse delle ascisse (la x!!!) rappresenti i numeri reali, e sull'asse delle ordinate rappresenti i numeri complessi (ciò che è scritto davanti a j).

Answer 4

Sono un artificio matematico per aggirare il fatto che non ha senso calcolare le radici quadrate, o più in generale i radicali pari ,di numeri negativi.

li puoi pensare come binomi formati da un numero e un monomio con potenze della lettera i.

Alla lettera i viene attribuita però la caratteristica che elvata al quadrato da -1. Utilizzando questi binomi come se fossero numeri e poi ricordandosi che i²=-1, si riescono a risolvere praticamente tutte le equazioni algebriche.

PS: Per la tua felicità ti diro che esistono anche i numeri ipercomplessi, come i quaternioni che hanno tre lettere, i, j e k per le quali valgono le regole
i²=j²=k²=-1
i*j=k, j*k=i, k*i=j,
j*i=-k, k*j=-i, i*k=-j
e per i quali non vale la proprietà commutativa e gli ottanioni che non sto a descrivere, e i numeri quasicomplessi 1, I, J, che non sono ne numeri ne polinomi, ma campi di vettori.

Vuoi sapere altro??

Answer 5

I numeri reali si possono definire in molti modi diversi. Per esempio, si possono vedere come coppie di numeri reali (x, y) oppure si possono vedere come vettori nel piano (complesso). Si può anche vedere C (l'insieme dei numeri reali) come un'estensione algebrica semplice del campo R (insieme dei numeri reali): se infatti prendi i reali e ci aggiungi quel numero i tale che i^2=-1 allora C={a+ib, a, b in R}.

I numeri complessi nascono dall'esigenza di voler risolvere equazioni polinomiali del tipo x^2+a^2=0, dove a è reale e non zero. La somma di un numero (reale) non negativo e di un numero (reale) positivo non può essere zero, quindi non si possono cercare le soluzioni dell'equazione tra i reali. Si introduce quindi l'unità immaginaria i, quel numero complesso tale che i^2=-1. A volte si scrive che i è la radice quadata di -1, ma questo è incorretto perché -1 ha due radici i e -i: infatti (-i)^2=(-1)^2(i)^2=1(-1)=-1.

Quando si sommano due numeri complessi si somma la parte reale del primo con la parte reale del secondo e la parte immaginaria del primo con la parte immaginaria del secondo. Il prodotto è un po' più complicato nel senso che il prodotto di due numeri complessi va fatto come il prodotto tra espressioni algebriche considerando i come fosse un incognita o un parametro. Per essere messo in forma canonica va semplificato usando il fatto che i^2=-1.

Esempio:
(1+i)(2-3i)=1*2+i*2+1*(-3i)+i*(-3i)=2+2i-3i-3(i^2)=2-i-3(-1)=2+3-i=5-i

Le funzioni sui complessi hanno proprietà molto forti rispetto a le funzioni reali. Per esempio, una funzione derivabile in senso complesso (in breve, olomorfa) si può scrivere come serie (somma infinita) di monomi (scrittura valida in un intorno sufficientemente piccolo di ogni punto dove sia olomorfa). Una funzione reale che sia derivabile, invece, non è detto che sia esprimibile in serie: per esempio la funzione 1/(1+x^2) non ammette sviluppo in serie nel punto x=1 pur essendo infinitamente derivabile (è derivabile e la sua derivata è derivabile, la derivata della derivata è derivabile, ... e così via insomma). La funzione e^(-1/x^2) è infinitamente derivabile su tutti i reali ma lo sviluppo in serie nello 0 non è convergente.

Si scrivono libri interi sui numeri complessi. Hanno molte applicazioni teoriche ma anche pratiche. Per esempio ci sono integrali (metodi per calcolare l'area sotto il grafico di una funzione) che si possono risolvere usando i numeri complessi e in particolare il teorema dei residui. Tra le applicazioni teoriche: il teorema fondamentale dell'algebra (che dice che un polinomio a coefficienti complessi di grado n ha n radici contate con la loro molteplicità algebrica) si dimostra senza troppa fatica usando l'analisi complessa (ci sono almeno quattro modi diversi di farlo).

Answer 6

Nella matematica è fondamentale lo studio delle strutture algebriche e la loro chiusura algebrica, con la quale si intende che gli elementi (i numeri ad es. oppure le matrici o i vettori...) appartenenti alla struttura in questione sono tutti ottenibili a meno delle operazioni contemplate dalla struttura algebrica stessa. Ad esempio, i numeri naturali formano un insieme algebricamente chiuso rispetto alla somma e noi otteniamo un monoide associativo (N ; +). Ma, per gli stessi numeri naturali, se noi ci domandiamo di ottenere un numero naturale (o intero = naturale con segno) attraverso l'operazione di divisione notiamo subito che la nostra struttura non possiede più la chiusura cercata (per questo motivo si distingue fra divisione e divisione intera) ed allora ci inoltriamo in una struttura più adeguata che prende come insieme di sostegno quello costituito dai numeri razionali, dato dall'unione dell'insieme dei numeri naturali e di quelli frazionari puri. Procedendo con questo intento di scoprire un insieme che possiede una completezza, cioè una chiusura algebrica rispetto a qualsiasi operazione conosciuta, ci inoltriamo nei reali (per costruire l'insieme dei numeri interi = naturali con segno, il discorso è molto complicato, infatti le operazioni sono analoghe a quelle valide per i numeri naturali, ma la chiusura è concettualmente mancante in qualche operazione...) infatti i numeri reali sono quelli che rispondono alla necessità di chiudere la struttura algebrica rispetto all'operazione di radice (che si distingue dalla radice intera). Quando giungiamo alla domanda

Radice(numero negativo) = ?

ci accorgiamo di essere nuovamente senza una chiusura algebrica adeguata ed è in questa nuova esplorazione operatoriale che nascono i numeri immaginari puri.

La prossima esplorazione la potrai fare tu stesso (???)

I numeri immaginari vennero introdotti da Eulero nella dimostrazione del Teorema di Fermat per il caso dei cubi perfetti, cioè quando ci si chiede se la somma di due cubi interi è in qualche caso a sua volta un cubo intero (per basi reali la cosa è sempre possibile). Ma la storia dei numeri risale anche al matematico Cardano che espone l'ultima formula di soluzione per equazioni polinomiali. Infatti Cardano ci da un metodo di ricerca delle soluzioni per l'equazione di terzo grado, mentre Galois (il padre del ragionamento algebrico moderno che ho esposto malamente in queste righe) dimostrò che a partire dal quarto grado non esistono metodi generali di ricerca della soluzione (anche lui stava lavorando sulla dimostrazione del teorema di Fermat, prima di rimanere ucciso in un duello con la spada).

I numeri complessi furono organizzati in seguito dal grande matematico Gauss in un piano, detto appunto piano di Gauss, dove i vettori hanno una componente reale (orizzontale) ed una immaginaria (verticale). In questo piano, il prodotto di un vettore per l'unità immaginaria provoca una rotazione di un angolo retto, quindi il ruolo fondamentale del numero immaginario "i" è quello di semplificare gli spazi ortogonali (utili nello studio dei fenomeni fisici quali l'elettromagnetismo). Altro grande risultato proposto dai numeri immaginari è la possibilità di dedurre la radice dell'unità
(Radice-ennesima(1)) con una molteplicità n, che suggerisce ancora una volta il concetto di chiusura algebrica... infatti noi potevamo dire, con i soli numeri reali, che la radice ennesima dell'unità naturale, cioè dell'uno, sia ancora uno stesso:

Radice-ennesima(1) = 1

ma secondo il teorema fondamentale dell'algebra noi avremmo perso ben n-1 soluzioni distinte. Queste soluzioni vengono contemplate sul piano di Gauss ed appaiono come i vertici di un poligono con n lati. Per questo motivo l'insieme dei numeri complessi si dichiara
, cioè vede la molteplicità delle soluzioni rispettando il risultato teorematico di Lamé (teorema fondamentale dell'algebra elementare).

Potevo scrivere molto di più, ma non è necessario.

Answer 7

Per cultura generale... allora come ti è stato detto i numeri complessi sono una generalizzazione dei numeri reali e dei numeri immaginari. Se i coefficienti reali (l'a e il b in a+bi ) sono entrambi diversi da zero allora i numeri complessi sono la somma tra un numero reale e uno immaginario. I numeri immaginari sono stati creati come degli artifici matematici per riuscire a risolvere le equazioni di 2° grado. I numeri immaginari sono definiti come la moltiplicazione di un numero reale con i (che è pari alla radice quadrata di -1 o la cui potenza di grado 2 è -1, il che è equivalente). Ho affermato che l'insieme dei numeri complessi include i numeri reali e immaginari in quanto essi sono casi particolari di numeri complessi, quelli che hanno rispettivamente 'b' e 'a' uguali a 0.
0 fa parte di tutti e tre gli insiemi.
I numeri complessi sono rappresentati come l'insieme dei punti di un piano (come quello cartesiano) con il coefficiente reale come x e il coefficente immaginario nelle y.

Answer 8

i numeri complessi sono numeri composti da una parte reale e una immaginaria, a sua volta il numero immaginario "i" è uguale a radice quadrata di -1, operazione che nel campo reale non sarebbe possibile in quanto nessun numero elevato alla quadra da un numero negativo

Answer 9

troverai tutto su /chihapauradellamatematica.org

Answer 10

Un numero Complesso è in realtà una coppia di numeri reali (a,b) in cui il primo si chiama numero reale e il secondo per convenzione si chiama numero immaginario. Si può anche scrivere a+ib dove i è la lettera che sta ad indicare la "parte immaginaria" del numero. Questo in soldoni ... se vuoi approfondire fammi sapere ... p.es. sai che i*i = -1 ? beh a poco a poco