Le produit de neuf entiers consécutifs n'est jamais une puissance parfaite. Qui a une démonstration?

Question

Précisions: Tous les entiers considérés sont >0 et une puissance parfaite désigne ici un entier de la forme m puissance n , où m et n sont des entiers >0 .

[ m puissance n , où m et n sont des entiers >1]

Answer 1

Je pense qu'on peut le démotrer avec la décomposition en facteur premiers.

Si P= n(n+1)...(n+9) = X^i, alors en décomposant P en facteur premiers, tout les facteurs seront des diviseurs de X.

donc tous les diviseurs de (n+i) sont des diviseurs de X.

Or n et (n+1) n'ont aucun diviseur commun, donc n(n+1) est
un diviseur de X ( X=q x n(n+1), q>1) ,
en faisant le même raisonnement jusqu'à (n+9), on en déduit que P est un diviseur de X, ce qui est impossible pour i>1.

CQFD

Answer 2

Pour l'instant je n'ai pas trouvé mais j'ai une preuve pour trois entiers consécutifs (c'est un début) qui peut-être peut nous mettre sur la voie pour un nombre plus grand d'entiers.

Supposons que n(n+1)(n+2) est une puissance parfaite p-ième. Alors, comme n+1 est premier avec n et n+2 (car n et n+1 d'une part, n+1 et n+2 d'autre part, sont consécutifs), il est premier avec le produit n(n+2). Donc en considérant la décomposition en facteurs premiers de n(n+1)(n+2), on en déduit que n+1 et n(n+2) sont chacun des puissances p-ièmes. Donc (n+1)^2 est aussi une puissance p-ième (car si n+1=a^p alors (n+1)^2=(a^2)^p). On en déduit que (n+1)^2=n^2+2n+1 et n(n+2)=n^2+2n sont deux puissances p-ièmes (avec le même p). Or c'est impossible car ce sont deux entiers consécutifs (sauf si le plus petit est nul, ce qui n'est pas le cas car n est supposé >0).

Je vais voir si j'arrive à généraliser ce raisonnement pour de plus grands nombres d'entiers consécutifs. Dans le cas de 4 entiers, déjà, il faudra sans doute distinguer plusieurs cas selon que n est divisible par 2 ou 3 afin d'établir si les différents facteurs sont premiers entre eux...

Answer 3

INTUITIVEMENT :
(n+1)(n+2)(n+3) ... (n+8)(n+9) = ? X X
avec n et X entiers, n> ou = 0
Pour que le produit de 9 nombres = le produit de 2 nombres égaux, il faudrait pouvoir regrouper les 9 nombres de telle façon que le produit d'une partie d'entre eux = le produit des autres ...
avec la possibilité qu'un des 9 soit un carré parfait et puisse donc se "scinder" ....
Si l'on peut montrer que c'est impossible, c'est ok. Je cherche
Autre voie :
le produit = (n+9) ! / n !
Voir dans les propriétés des factorielles ? ....
.
Je cherche mais j'espère surtout la réponse de plus doués