Esiste questa regola matematica ?

Question

Esiste una regola che determina il valore di x con un breve calcolo fatto in due minuti con carta e penna?
4:17 = 0,2352941176X7058823 ( nel quoziente ho sostituito una cifra con la X )
Ho preso 4 che è un numero qualsiasi, 17 che è un numero primo, mi da un quoziente che un numero il cui periodo 235294117647058823 è composto da 16 cifre, cioè il limite massimo. In tutti i casi simili in cui il dividendo è un numero qualsiasi e il divisore è un numero primo e il quoziente è un numero periodico il cui periodo ha il numero massimo di cifre, cioè X:Y=Z, il periodo di Z non può essere più lungo di Y-1.
In tutti i casi del genere con un rapido calcolo riesco a trovare il valore della x come nell'esempio di sopra anche se il periodo e molto lungo.
Vorrei capire se esiste un metodo del genere già conosciuto. Grazie

Gaetano L, prima di tutto ti ringrazio per la risposta, che la massima periodicità sia Y-1, l'avrei dimostrato anche io in un un modo analogo a come hai fatto tu, da li in poi nella tua descrizione non sono più in grado di seguirti, vorrei capire se con il metodo che spieghi riesci a trovare velocemente il valore della x con un calcolo che sia ovviamente molto pù semplice e rapido di quello di eseguire la divisione, ti sarei grato se mi fai un esempio pratico con 4:17 = 0,2352941176470588.

X Gaetano L, Per X intendo una qualsiasi cifra del periodo. come ad esempio in 4:17 = 0,2352941176X7058823,( nel quoziente ho sostituito una cifra con la X )

Certo nell'esempio è una particolare cifra del risultato.

X Gaetano L, credi che la tua soluzione per trovare una cifra del periodo senza effettuare la divisione rispetta il "requisito" della domanda? cioè che deve essere un calcolo rapido anche nel caso in cui la cifra da trovare è in un periodo molto lungo ad esempio 300 cifre.
Grazie.

Gaetano L, mi ha fatto piacere che sei stato preso da questo quesito, sicuramente la tua è la miglior risposta, meriti senza alcun dubbio di sapere la formula, ma devo ancora chiarirmi qualcosa su questo, come ad esempio se la formula è conosciuta, quindi non posso dirtelo adesso.

Answer 1

Vediamo come facciamo la divisione 4:17 (in base 10):
4 div 17 = 0 riporto 4 ->0.
40 div 17 = 2 riporto 6 -> 0.2
60 div 17 = 3 riporto 9 -> 0.23
90 div 17 = 5 riporto 5-> 0.235
..

Y-1 è il massimo resto di X/Y, e si ha che per ogni possibile resto è collegato il risultato successivo della divisione, e quando ho un resto che ho già ottenuto si 'innesca' la periodicità del numero.
In un certo momento avrò un resto R (tra 1 e Y-1) e lo moltiplicherò per 10 dividendo poi per Y
(10 R) / Y
La massima periodicità è ovviamente Y-1 perché tanti sono i possibili resti della divisione per Y. (E' questo che chiedevi?)
Fare la divisione intera di 10R per Y significa trovare q,r tali che
10R = q*Y + r
ossia r = 10R (modulo Y)
Ossia in realtà il nuovo resto è quel numero congruente a 10R modulo Y ove R è il resto precedente
R1 = 10R0 (mod Y)
R2= 10R1 = (10)^2 R0 (mod Y)
R3= 10R2 = (10)^3 R0 (mod Y)
Quindi dividendo stiamo in sostanza scorrendo le potenze del monoide generato da (10) modulo Y moltiplicate per il resto iniziale.
Il resto iniziale R0 è quello tale che
X = R0 (modulo Y)
Ossia si parte da R0= X modulo Y
Quindi i resti che otteniamo sono proprio
Ri = R0 (10)^i (modulo Y)
Mentre le cifre saranno le parti intere di
10*Ri / 17
Ove i è il n. della cifra

Da quanto detto possiamo fare un'osservazione:
La periodicità della frazione X/Y dipende dal rapporto che c'è tra Y e la base in cui si esprime il rapporto.
Questo è il motivo per cui alcuni numeri che hanno una rappresentazione decimale finita, ad esempio 0.2, sono periodici quando li esprimiamo in base 2.
Infatti 0.2 = 2* 10^(-1),
ma quando lo rappresentiamo come somma di potenze di 2 otteniamo un numero periodico, infatti 0.2= 1/5 e 5 è coprimo con la base 2 del sistema binario.
Infatti:
1/5 = 0 resto 1 (base 2) scrivo 0.
2/5 = 0 resto 2 (base 2) scrivo 0.0
4/5 = 0 resto 4 (base 2) scrivo 0.00
8/5 = 1 resto 3 (base 2) scrivo 0.001
6/5 = 1 resto 1 (base 2) scrivo 0.0011
A questo punto, avendo ottenuto il resto iniziale si innesta la peridocità!
Quindi 1/5 (base 2) = 0.0011001100110011..
Chiaro?

Nel tuo caso:
4/17 , supp. calcolare la 10ma cifra.
Dato che le nostre 'i' partono da 0 calcoliamo il resto n. 9
(tutti i calcoli che seguono sono a base 17)
R9 = 4 * (10)^9
10^9 = 100^4*10 = (-2)^4*10 = 16*10 =7
R9 = 4*7 = 28 = 11
110/17 = 6
ossia la 10ma cifra (giusta)

Guarda, per calcolare 10^n mod p ci possono essere varie scociatoie, però non è detto che sia semplicissimo. Ad esempio se trovi che 10^k mod p è un numero piccolo, poi puoi elevare quello...
di più non ti so dire...
mi hai svenato!
Di pure la tua formula, penso di essermi meritato di vederla!

Answer 2

Gauss nel 1801 ha pubblicato Disquisitiones Arithmeticae gettando le basi del calcolo modulare. Tutto quello che c'è nell'algebra elementare è stato già scoperto da Gauss e Eulero!!!! Non a caso venivano chiamati Il Principe della matematica e L'aquila l'uomo che calcolava con la stessa facilità con cui gli altri uomini respiravano.

Answer 3

utilità???di sta legge????cmq mi sembra di no.....bella pe te!!

Answer 4

le mie reminiscenze mi suggeriscono... NO...assolutamente no...