Funzione z (domanda per esperti)?

Question

Mi sapete dire come si esprime la funzione
[1] z(s)= somma (n=0..infinito) 1/n^(s)
per tutti i valori di s?
Infatti so che quella espressione vale solo per mod(s)>1 ed infatti non è utilizzabile per ottenerne gli zeri (ne quelli banali ne quelli non banali)
Ancora, mi sapreste indicare COME si arriva ad altre rappresentazioni al posto della [1]?
Mi ricordo che si tratta di prolungamenti 'omomorfi'... ma non so cosa siano...
Spero (e confido) tra voi ci sia qualcuno che ne sappia più di me, quindi vi ringrazio in anticipo!

P.S.
Quando faccio delle domande NON è per mettere qualcuno alla prova, ma è proprio perché sono cose che NON so...

Grazie Mynskin, purtroppo non so se avrò MAI il tempo di andare in una blblioteca!
Tra lavoro (dalle 8 alle 17), un bambino di 5 mesi... ho lasciato palestra, bici, tutto!
Ma sono contento!

Mr.ratz dato che era una domanda per esperti non ho nemmeno specificato che z è la funz. di Riemann e s è un numero COMPLESSO, quindi la questione è molto più intricata di come sembra apparentemente dalla "banale" formula [1]
In realtà la [1] non si applica per s il cui modulo (sqr(a^2+b^2) ova s=a+ib) sia minore di 1, come ho scritto nella domanda.
La domanda è appunto: per quegli s invece che formula si applica e come si arriva a determinare tale formula, che so essere un prolungamento omomorfo anche se non so con precisione cosa significhi.
Di certo però non so bene tutta la storia altrimenti non farei la domanda!

Answer 1

Questa è la presentazione ufficiale dal sito del Clay institute della congettura di Riemann (guarda la descrizione di Bombieri).
http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/

Altro lo puoi vedere qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Kuzmin-Wirsing_operator
http://en.wikibooks.org/wiki/Discrete_mathematics/Analytic_Number_Theory
http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_the_Euler_product_formula_for_the_Riemann_zeta_function
http://secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/directoryofzetafunctions.htm
http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetageneralities.pdf
http://shoup.net/ntb/ (questo è un libro)
http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html
http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunctionZeta2.html
http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunctionZeros.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function
http://secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/devlin.pdf
http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeros1e13-1e24.pdf
http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetaevaluations.pdf

Molte sono solo su Riemann ma da vi sono anche altre Zeta function

Answer 2

Ciao Gaetano, stai chiedendo una cosa molto molto difficile come tu saprai, e mi spiace ma al momento le mie conoscenze matematiche non arrivano a tanto essendo ancora uno studente, però se sei così interessato posso fornirti qualche testo di matematica, non divulgativo come l'engma dei numeri primi..
Dove potrai soddisfare le tue cuorisità su questa funzione, sono tutti ovviamente in inglese, mi spiace non poter fare di più.
Ecco i titoli con relativi autori e anno di pubblicazione, alcuni sono ancora in pubblicazione altri devi cercarli in qualche buona biblioteca:
1974 Edwards, Harold M. Riemann's zeta function
1962 Dwork, Bernard On the zeta function of a hypersurface
1960 Haselgrove, C. B. Tables of the Riemann Zeta function
1930 Titchmarsh, E. C. The zeta-function of Riemann
1951 Titchmarsh, E. C. The theory of the Riemann zeta-function
2003 Ivic, Aleksandar The Riemann zeta-function
1992 Karatsuba, Anatolii ... The Riemann zeta-function
1989 Patterson, S. J. An introduction to the theory of the Riemann zeta-function
1986 Titchmarsh, E. C. The theory of the Riemann zeta-function
1987 Fischer, Jurgen An approach to the Selberg trace formula via the Selberg zeta-function
1985 Ivic, Aleksandar The Riemann zeta-function
Ivic, Aleksandar Lectures on mean values of the Riemann zeta function
1995 Ramachandra, K. Lectures on the mean-value and omega-theorems for the Riemann zeta-function
1997 Reimann, Harry The semi-simple zeta function of quaternionic Shimura varieties
1997 Motohashi, Yoichi Spectral theory of the Riemann zeta-function
1953 Chandrasekharan, Komaravolu ... Lectures on the Riemann Zeta-Function


GAETANO
vai alla pagina:

http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf

potrà interessarti.

Answer 3

che significa "come si esprime"?cmq per ogni s è una serie armonica,che per s=1 non converge,ma per tutti gli s maggiorri di 1(con s naturale xò)converge...sai che però non ricordo a cosa converge??forse è quello che intendevi?a cosa converge in funzione di s??

Answer 4

oddio, non ho capito neache una parola di quello che hai detto... sarò ignorante???

Answer 5

ahem... qual era la domanda? ^^