On considère dans le plan un certain nombre(fini ou pas) de segments à supports parallèles. On sait en outre que, pour tout choix de 3 de ces segments, il existe une droite orthogonale aux supports et coupant les 3 segments.
Il faut démontrer alors qu'il existe une droite orthogonale aux supports et coupant TOUS les segments.
2007-03-01 06:32:31 · 7 réponses · demandé par Sacré Coquin 5 dans Sciences et mathématiques ➔ Mathématiques
Je pense que si le nombre de segments est dénombrable, cela se fait avec des segments emboîtés.
Tu numérotes s1, s2, s3, etc les segments de départ.
Tu notes s'2, s'3, etc les projetés orthogonaux de s2, s3, etc sur s1. Le probleme est de montrer que s1, s'2, s'3, etc, ont un point en commun.
L'hypothèse se traduit déjà par le fait que l'intersection de s1, s'2 et s'3 est non vide. C'est un segment que je note t3.
Maintenant, l'intersection de s'4 et s1 d'une part, de s'4 et s'2 d'autre part, de s'4 et s'3 enfin, est non vide. Comme les trois intervalles s1, s'2 et s'3 sont d'intersection non vide, ceci entraîne, par convexité des intervalles, (si j'ai le temps, je préciserai cet argument) que l'intersection de s'4 et de t3 est non vide. Je note t4 cet intervalle.
On construit de même l'intersection de t4 et s'5, qu'on note t5.
Et ainsi de suite.
On obtient ainsi une suite de segments t3, t4, t5, ..., tn emboîtés et non vides. La suite tn converge donc vers un segment limite et chaque point du segment limite donne alors une solution.
Addendum pour Rodgeur. Ta démonstration fonctionne pour un nombre fini de segments, mais pour un nombre infini ? En fait, tu prouves seulement qu'on peut trouver une droite passant par un nombre quelconque (mais fini) de segments ; pas qu'il en existe une passant par tous les segments... Enfin, si j'ai bien compris.
2007-03-01 07:22:34 · answer #1 · answered by dadodudou2 5 · 1⤊ 0⤋
Il faut raisonner par récurrence:
c'est Ok pour 3, on considère OK pour n, on rajoute un segment n+1, raisonnement par l'absurde, en disant qu'il n'existe pas de droite qui coupe les n+1 segments, mais qu'il existe une droite qui coupe les n segments.
Alors il faut prouver qu'on peut trouver parmi les n segments 2 segments qui avec le dernier ne vérifient pas la condition suivante : "on peut trouver une droite qui les traverse tous les 3"
parmi toutes les droites passant par les n premiers segments, on choisit celle qui est la plus près du segment n+1... Cette droite s'appuie obligatoirement sur un sommet d'un segment p, et sur un sommet d'un autre segment k, sinon il existerait une autre droite s'approchant plus près du segment n+1. Si on prend les segments p,k, n+1, alors il n'existe aucune droite qui traverse ces 3 segments, ce qui est absurde car contraire à la condition de départ, donc il existe une droite qui traverse les n+1 segments.
2007-03-01 17:02:03 · answer #2 · answered by rodgeur 3 · 0⤊ 0⤋
cher ami je ne peux point résoudre ce grave problème ! je suis nul en math !!!!!!!!!!!
2007-03-01 15:17:20 · answer #3 · answered by Anonymous · 1⤊ 1⤋
J'aurais essayé de faire par récurrence.
Et sinon, cette droite existe bien, on peut le sentir intuitivement puisque l'énoncé dit bien "pour TOUT choix de 3 de ces segments...".
Par récurrence et par l'absurde.
2007-03-01 14:55:46 · answer #4 · answered by dahduhdah 2 · 0⤊ 0⤋
-Dans un plan il existe un nombre infini de segments paralleles.
-ces segments ont des longueurs qui tend vers l'infinis
-alors une droite orthogonale coupe tous les segments.
2007-03-02 19:35:53 · answer #5 · answered by ammadammadammadammad 2 · 0⤊ 1⤋
je suis un grand, qui suis je
2007-03-01 15:24:18 · answer #6 · answered by adda 1 · 0⤊ 1⤋
Je pense que pour ce faire, il faut que tes segments aient une longueur infinie, au point de devenir des droites
2007-03-01 14:42:43 · answer #7 · answered by neng 2 · 0⤊ 2⤋