Série des inverses des nombres premiers jumeaux?

Question

Quelqu'un connaîtrait-il la démonstration qui permet d'affirmer que la série des inverses des nombres premiers jumeaux est convergente ?

Je n'ai pas réussi à trouver cette démonstration ( et pourtant j'ai bien cherché)

Merci d'avance

Deux entiers premiers jumeaux sont deux entiers premiers tels que l'un est égal à 2 plus l'autre : c'est un couple (n, n+2) ou les deux nombres premiers sont premiers.

@ Genus Rosa : je ne sais pas si ca s'appelle théorème de Brun, c'est possible car Brun a donné son nom à la limite de la série.
Par contre je ne comprends pas ta majoration. C'est quoi x ? Peux-tu être un peu plus précis stp?

Answer 1

Je ne savais même pas que cette propriété était démontrée.

Ceci dit, je pense que dans ce cas la démo doit être très technique. Elle se base sans doute sur les techniques de crible, qui sont très calculatoires en général et consistent principalement à évaluer des intégrales...

Addendum : à défaut de te donner la méthode, voici une référence de la démonstration :

Viggo Brun, "La série 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + ... où les denominateurs sont "nombres premiers jumeaux" est convergente ou finie", Bulletin des Sciences Mathématiques n°43 (1919), pp. 100-104 et 124-128

Answer 2

Je crois que ca s'appelle le theoreme de Brun et qu'on le prouve en montrant que la serie est majoree par x*{ln(lnx)/lnx}^2

Answer 3

Nombres premiers jumeaux
3 et 5
5 et 7
11 et 13
17 et 19
29 et 31
41 et 43
59 et 61
71 et 73
par exemple (en tout cas ceux qui sont plus petit que 100)

Honnêtement je ne vois pas pour la convergence de la série de ces inverses

Answer 4

euh, je ne connais pas la définition des nombres premiers jumeaux...

2 suggestions: par l'absurde;
ou alors en l'encadrant par deux suites convergentes?

je sais pas, ce sont juste des pistes

Answer 5

je ne vois pas de ce que tu veux parler