1+1=2 vérité ou certitude ???

Question

croyez vous que 1 et 1 font deux, ou bien vous en etes convaincus ou persuadés; ou tout simplement ce n'est qu'une evidence ou certitude
La prof de philo nous a expliqué qu'il y avait une grande nuance a faire entre ces termes

Answer 1

c'est un des axiomes de l'arithmétique, bien fixé à la fin du XIXème, permettant de définir les nombres naturels (1, 2, 3, etc); rien n'interdit d'imaginer d'autres arithmétiques, avec des axiomes différents (les nombres p-adiques, par exemple, très amusants à manipuler, et qui ont servi enbtre autres à Wiles pour démontre le Gd théorème de Fermat, mais ne servent à rien dans la vie ordinaire).
Il se trouve que cette arithmétique là est un bon modèle pour la réalité, alors on l'utilise dans la vie efficacement.
Les mathématiques ne sont pas la réalité : elles sont un modèle qui s'appliquent bien à la réalité. 2 , 3, 4, 5, 26 n'existent pas en soi, mais ils sont utiles pour compter, donc on a crée un modèle de comportement qui colle bien à la réalité (2+3=5 se vérifie avec tout), mais n'est pas cette réalité (contre Pythagore, Platon et Godel, ce qui n'est pas rien, mais avec Aristote, Hilbert ou Dedekind, ce qui est rassurant)

Answer 2

C'est une certitude car c'est la définition même de 2, le suivant de 1 parmi les nombres entiers qui se succèdent en ajoutant 1 à chaque fois; et c'est en même temps la définition de l'addition qui commence là!
1+1=2, 2+1=3, 2+2=1+1+2=1+3=4 etc.....
C'est bien plus qu'une évidence qui est une vérité qui saute aux yeux car elle est très simple à démontrer. Une certitude n'a pas toujours besoin d'être démontrée, comme dans ce cas et dans tous les cas où cela est une définition ou ce qu'on appelle un axiome de base, tandis que l'évidence se déduit des axiomes, des définitions, des hypothèses de départ d'un problème. Tout ça est de la logique.

Answer 3

C'est un axiome à partir duquel on construit les entiers.
2 est défini comme 1+1
3 est défini comme 2+1
4 comme 3+1 et ainsi de suite...

Il n'y a donc rien à démontrer puisque c'est la définition même de l'entier 2.

Answer 4

Les réponses précédentes sont correctes mais parfois inutilement complexes.
Nous sommes d'accord sur le fait qu'il est facile de construire des cas où 1+1 n'est pas égal à 2. L'addition est effectivement une opération algébrique qui obéit à certains axiomes et qui celle qu'on apprend à l'école primaire n'est qu'un cas particulier.

Cependant, dans la vie de tous les jours c'est le système décimal qui est officiellement adopté et par conséquent, en l'absence de toute précision on a 1+1=2 (par définition de 2). Si on veut travailler avec une autre addition ou dans un autre ensemble, il faut le préciser préalablement. Les mathématiques répondent heureusement à certaines règles.

Note: je suis étonné qu'un petit malin ne nous ait pas parlé de calcul booléen pour lequel "+" signife "ou" et donc où 1+1=1 ;o)

Answer 5

Tout dépend de la base dans laquelle tu te place...
1+1=10 en binaire !

Answer 6

En effet, il y a une immense différence à faire dans ces termes! 1+1 n'est pas forcément égal à 2.

C'est vrai dans la définition commune que l'on en a, c'est-à-dire dans le corps des nombres réels, qui est de caractéristique nulle.

Or, si l'on se situe dans un corps de caractéristique 2, par exemple le corps Z/2Z, alors 1+1=0.

Pour comprendre comment marchent les corps de caractéristique non nulle, par exemple les Z/nZ, il faut se dire que tout est question de modulo et que dans ce corps, n et 0 sont égaux. Pour une compréhension très simple, pensez à votre horloge sur 24h, les heures pleines sont en fait équivalentes à du Z/24Z.

En effet dans ce corps, 12 + 13 = 1 (12h et treize plus tard font 1h du matin) et de même 12 + 12 = 0 (12h et douze heures plus tard font minuit donc 0h).

C'est le même principe pour Z/2Z où 1+1=0 (tout simple parce que 2 n'existe pas puisque 2 vaut 0).

Donc pour répondre parfaitement à ta question,

1+1 = 2 dans les corps de caractéristique nulle ou dans les corps de caractéristique strictement supérieure à 2.

et 1+1 = 0 dans les corps de caractéristique égale à 2.

Bien à vous tous!

Answer 7

idem que les premières réponses. CE n'est ni une vérité ni une certitude, c'est une convention.

Answer 8

Les entiers son définis par la loi de Peano, ou on a entre autrees:
s : successeur
0: valeur 0

ainsi, on a par exemple l'addition

plus(0, X) = X
plus(s(X), Y) = s(plus(X,Y))

pour définir l'addition.

On obtient par construction inductives les valeurs suivantes:

0, s(0), s(s(0)) , s(s(s(0))), ...


Pour plus de commodité, on utilisera des symboles (en base 10 par exemple, les symboles utilisés sont 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

avec

0=0
s(0) = 1
s(s(0)) = 2
...

De toutes les manière, les entiers forment un ensemble d'éléments obeisssant aux lois de Peanos.
Ces ensembles peuvent êtr triés selon une relation d'ordre, et pour plusnde commoditié, sont communément représentée par des symboles dans une base donnée.

Dans tous les cas, 1+1 vaut quelques choses, que l'on nomme 2. C'est une certitude.

Answer 9

1+1=2 fait partie d'un raisonnement cartésien.
C'est à dire de Descartes or toute la philosophie de Descartes est basé sur le doute. Celui-ci est à mettre en relation avec la certitude.
Avoir la certitude en une chose c'est aussi avoir confiance en une chose.
Donc 1+1=2 c'est en être convaincu et c'est aussi une certitude à condition de ne pas douter de cette affirmation.
Ce n'est donc pas une vérité à proprement dit ou une vérité absolue.

Answer 10

Je confirme la reponse precedente...