Pourquoi ne pourrait on pas ordonner (de façon croissante ou decroissante) les nombres complexes en comparant d'abord leur module, puis leur argument (dans le cas ou les modules seraient identiques?)
2007-02-28 09:25:54 · 11 réponses · demandé par Anonymous dans Sciences et mathématiques ➔ Mathématiques
Cantor a montré qu'il y a "autant" de points dans un carré que sur son côté, dans son étude de la hiérarchie des infinis, ce qui a beaucoup choqué. En disant ce que tu dis, tu retraces (à grosses maille) son raisonnement.
Mais s'il a démontré que c'était deux infinis de même puissance, il n'a pour autant pas fait, pour les points du carré, une classification expolicite à une seule dimension : il s'est "contenté" d'une bijection.
Pour "linéariser" les complexes, il faudrait qu'avec module+angle, tu puisse fabriquer un nombre réel X= F(module, angle) tel que la hiérarchie de ces réels, à une dimension, reproduise la hiérarchie à deux dimensions que tu sais construire: il n'y a pas de solution, même avec F non algébrique et très "manipulatoire". Va voir comment a procédé Cantor, il y a des milliers de références sur le net, c'est tout bête, mais trop long ici.
2007-02-28 17:46:01 · answer #1 · answered by paisible 7 · 1⤊ 0⤋
Ben, c'est pas que l'on ne puisse pas les ordonner, c'est qu'on ne peut pas les ordonner de manière compatible avec l'addition et la multiplication.
2007-02-28 17:39:52 · answer #2 · answered by Cecil B. 5 · 3⤊ 0⤋
Cette comparaison ne serait pas compatible avec l'addition, par exemple. Ex : 1+i < 2+i et 1 < -1- 2i mais on n'aurait pas 1+i+1 < 2+i- 1 - 2i, c'est-à-dire 2 + i < 1 - i
On peut définir cependant une relation d'odre de la façon suivante
Soient z et z' deux complexes différents
Si leurs parties réelles sont différentes, le plus petit est celui qui a la plus petite partie réelle.
Si elles sont égales, le plus petit est celui qui a la plus petite partie imaginaire.
On peut vérifier que c'est bien une relation d'ordre, compatible avec l'addition.
Je crois que ça s'appelle, si mes souvenirs sont bons, l'ordre lexicographique.
2007-02-28 17:35:29 · answer #3 · answered by Sacré Coquin 5 · 3⤊ 0⤋
C étant équipotent à R il existe donc une bijection entre ces deux ensembles.On peut donc transporter par cette bijection l'ordre total de R sur C.Il y a donc bien des relations d'ordre total dans C.Mais ces relations ne sont pas compatibles avec la structure de corps de C et il n'existe pas de relation d'ordre dans C compatibles avec la structure de corps de C.C'est en ce sens que l'on dit que C n'est pas un corps ordonné.
2007-03-01 08:50:59 · answer #4 · answered by fouchtra48 7 · 0⤊ 0⤋
On peut parfaitement comparer des nombres complexes ; il suffit de créer une relation d'ordre. Tu proposes une telle relation d'ordre avec module et argument, on peut aussi faire une relation d'ordre avec partie réelle et partie imaginaire.
Par exemple : Si a + bi et c + di sont deux nombres complexes (a ; b ; c ; d réels), on pose a + bi >= c + di ssi
a > c ou a = c et b >= d.
C'est bien une relation d'ordre puisqu'elle est réflexive, antisymétrique et transitive (c'est bêtement un ordre lexicographique, comme celui du dictionnaire).
Mais la définition même de cet ordre est assez étrange. on considère en effet qu'il faut d'abord comparer les parties réelles puis seulement les parties imaginaires. Ainsi 3 + 5i < 5 + 3i mais on aurait aussi pu faire un ordre comparant d'abord les parties imaginaires et on aurait eu l'inégalité contraire.
Le vrai problème réside dans le fait qu'un ordre n'est intéressant que s'il est compatible avec la structure du corps dans lequel il est défini. Par exemple dans les réels ; si a > 0 ; b > 0, ab > 0.
Cela n'est plus vérifié avec l'ordre que l'on a créé dans C puisque l'on a i > 0 ; i > 0 mais i*i = i² = -1 < 0 ; ce qui est assez embêtant !
On peut montrer assez simplement qu'aucun ordre sur C ne peut respecter ces inégalités, de sorte qu'il n'est pas intéressant d'en créer un quelconque. Comparer des modules et se ramener à des réels est en revanche bien plus intéressant.
2007-03-01 06:39:53 · answer #5 · answered by mister_jones 2 · 0⤊ 0⤋
Pour repondre a ta question on a une relation dordre partiel mais pas total sur les complexes.
Je ne sais pas comment expliquer cela via internet (pour cela il me faudrait deja savoir tes acquis lycee ou...)
2007-02-28 18:49:19 · answer #6 · answered by sadako 2 · 0⤊ 0⤋
ce n'est pas naturel.
2007-02-28 17:53:21 · answer #7 · answered by ouimai 7 · 0⤊ 0⤋
Si et il existe d'autres relations d'ordre sur C, comme le montre Wikipedia!
2007-02-28 17:43:52 · answer #8 · answered by Sceptico-sceptiiiiico 3 · 1⤊ 1⤋
Bonjour,
je vais tenter de répondre
un nombre complexe est de forme a+bi, avec a et b réels et i défini par "i au carré" = -1
jusque là c'est "simple"
maintenant est ce que "a+bi" est < ou > ou = à "c+di" (on est d'accord a b c et d sont des réels.)
ben pour un gros matheux, çà saute aux yeux ili y a un truc qui coince
en gros imagine que tous les réels sont sur une droite : ben les nombres complexes, ils sont pas dessus, alors demander s'ils sont plutot au début, ou au milieu, ou je ne sais où sur cette droite..ben çà a pas beaucoup de sens :) :) :)
et c'est çà "ordonner", savoir où sont les nombres su la droite
j espère t aider un peu
amicalement
2007-02-28 17:37:59 · answer #9 · answered by hastyle 5 · 1⤊ 1⤋
Il y a deux degrés de liberté
Si tu ordonnes suivant le rayon et que a > b
et si tu ordonnes suivant l'angle (admettons que l'origine est [ox) sens trigonométrique) et que b > a
tu conclues que a>b ou que b >a ?
2007-02-28 17:35:27 · answer #10 · answered by U 6 · 1⤊ 1⤋