Pourquoi 0 ! = 1?

Question

Voyons qui est l'intelligent parmi vous ici hehehe
Pourquoi mathematiquement factorielle de 0 est egale a 1 ???
( Demonstration par recurrence? par l'absurde? par equivalence ? par elimination ? )

Pourquoi par convention, ils ont choisi le 1, et pas le 0 ou l'ensemble vide par exemple sachant que le 0 ou l'ensemble vide sont plus "appropriés" a la formule
n! = 1*2*3*...*n

Answer 1

C'est une convention très utile; je dirais même très nécessaire pour l'existence de la fonction factorielle. Je m'explique:
Prémièrement:
On sait que pour tout n, n!=n*(n-1)!
Donc pour n=1, on a 1!=1*0! et comme 1! =1 alors il vient donc que 0!=1 pour que ça marche.

Deuxièmement:
En probabilité, précisément l'analyse combinatoire; le nombre de combinaison de p éléments tirés parmi n (p<=n) est noté C(n,p).
Et C(n,p)=n!/(p!*(n-p)!)
on sait aussi, sans avoir besoin d'être de polytec, que le nombre de tirage possible de n éléments parmi n est égal à 1.
Ce qui s'écrit mathématiquement: C(n,n)
Et C(n,n) = n!/(n!*(n-n)!) = n!/n!*0! = 1/0!
or C(n,n)=1 c'est-à-dir ke 1/0! = 1 soit 0!=1

Et voilà convention nécessaire à l'existence de la fonction factorielle

Answer 2

Pour la même raison que 1+1=2
C'est la base du calcul factoriel.

(n+1)! = n! * (n+1)

donc pour n = 0
(0 + 1)! = 0! * (0+1)
Il est donc nécessaire au calcul factoriel que 0! = 1

Answer 3

Pour faire simple, je dirai que la définition par récurence de n! c'est n (n-1)!
donc 1! = 1 * 0!

Comme 1! = 1, il en découle 0! = 1

On peut aussi considérer la règle (n+1)! / n! = n+1
le prolongement en 0 de cette règle implique 1! / 0! = 1 donc 0! = 1

Donc 0! = 1 pour des raisons de continuité selon moi.

Answer 4

Les conventions sont posées pour que tous les autres théorème soient encore vrais avec ces nouvelles notations...

Si 0!=0, ça fausserait les calculs de probabilité, et on obtiendrait des divisions par 0 pour les arangement, ou les combinaisons par exemple.

Answer 5

J'ai une autre approche que tout le monde.
Pour moi n! = produit k pour k variant de 1 à n

Donc 0! = produit de l'ensemble vide = neutre de la loi * = 1

C'est le même raisonnement avec les sommes.
La somme de l'ensemble vide fait 0 (le neutre de la loi +). Ce qui est très logique.

Cela permet de scinder les produit (ou somme), sans ce soucier qu'il y ait effectivement des éléments dans l'ensemble qu'on scinde.

Answer 6

Tous les factorielles seraient égales à zero ce qui n'a pas d'intérêt...

Par convention :

0! = 1
La définition de la factorielle sous forme de produit rend naturelle cette convention puisque 0! est un produit vide, c'est-à-dire réduit à l'élément neutre de la multiplication. Cette convention est pratique pour deux points :

Elle permet une définition récursive de la factorielle : (n+1)! = n! × (n+1) pour tout n.
Elle permet à de nombreuses identifés en combinatoire d'être valides pour des tailles nulles. En particulier, le nombre d'arrangements ou de permutations de l'ensemble vide est égal à 1.

Answer 7

Par extrapolation de la fonction factorielle aux nombres reels.

Answer 8

0 ! n'est pas égal à 1 ; mais 0 ! = 1 c'est une convention

Answer 9

Trace la courbe des factorielles, tu verras qu'elle tombe pile poil sur 1

Answer 10

C'est une convention.