il peut etre isocele ou non
2007-02-26 08:05:23 · 5 réponses · demandé par morbacktouch 1 dans Sciences et mathématiques ➔ Mathématiques
ton problème donne deux équations à trois inconnues :
a+b+c = 21
a²+b²=c²
Il te manque une équation pour t'en sortir si le triangle n'est pas isocèle. Sinon, tu as une troisième équation (a=b) qui doit te permettre de boucler le calcul, que je laisse à tes bons soins.
Attention, le système n'est meme pas linéaire.
Pour NicoSH, tous les triangles peuvent s'inscrire dans un cercle : c'est le cercle centré sur l'intersection des médiatrices des côtés du triangle. La spécificité des triangles rectangles est que ce centre est le milieu de l'hypothénuse (si je ne m'abuse).
2007-02-26 08:11:48 · answer #1 · answered by Guignôme 4 · 1⤊ 1⤋
Pour NicoH: Un triangle rectangle isocele avec un cathete de longueur 7 n'aura JAMAIS un perimetre de 21 , le perimetre sera de 14+7sqrt(2). Sinon on aurait un triangle rectangle equilateral dont le simple fait de dire le mot donnerait une crise cardiaque a n'importe qu'elle matheux digne de ce nom!!!!!!! Meme l'hypotenuse egale a 7 ne marche pas. Ta 2e equation est ultra fausse.
On note les trois cotes a, b et h pour l'hypotenuse (h>a,b).
Perimetre: P=a+b+h=21
Pythagore:a^2+b^2=h^2
Donc on a:
h=21-a-b
donc
441-42a-42b+2ab+a^2+b^2=a^2+b^2
Donc:
441=42a+42b-2ab
Cas a=b:
On a l'equation du second degre:
441-84a+2a^2=0
delta=3528
donc a=21(1-sqrt(2)/2 )
l'autre solution est superieure a 21 donc impossible
Donc pour un rectangle isocele:
a=b=21(1-sqrt(2)/2) ~6cm
et h=sqrt(2a^2)~8.5cm
(A noter les environs)
RESOLUTION GENERALE:
Pour la resolution generale il faut faire une resolution graphique:
On note z l'hypotenuse, x et y les cathetes tels que: 21>z>x>=y.
On a les equations:
z+y+x=21 et z^2=x^2+y^2
Maintenant on va essayer d'exprimer z et y en fonction de x.
y=21-x-z
z^2=x^2+441+x^2+z^2-42x-42z+xz
Donc:
(42-x)z=441+2x^2-42x
Donc
z=(441+2x^2-42x)/(42-x)=f(x)
Et
y=21-x-f(x)=g(x)
On note h(x) la fonction telle que h(x)=x
On trace les courbes representatives de f, g et h.
Comme les distances sont positives et inferieures a 21, on se place dans l'intervalle [0,21] pour les abcisses. Comme x ne represente pas le plus grand cote l'intervalle [0,10.5[ est encore plus precis.
Maintenant on va chercher les intervalles solutions:
Deja il faut que f(x) et g(x) soient positives, donc on elimine tous les cas ou ca n'est pas le cas (par le calcul, c'est facile aussi):
Par le calcul: pour f par exemple: 42-x est positive stricte sur l'intervalle, donc il faut que 441+2x^2-42x soit positive. On derive, tableau de variation...
Ensuite comme z>x, il faut que f(x)-h(x) soit strictement positive. Comme y<=x, il faut que h(x)-g(x) soit positive ou nulle. La encore pour le calcul c'est faisable.
Et la on obtient tout les triplets (x,g(x),f(x)) qui fonctionnent (je crois).
2007-02-27 00:41:30 · answer #2 · answered by loony 3 · 1⤊ 0⤋
si il est isocèle la résolution est rapide si l'hyp=c et les deux cotes sont a et b on a a=b donc 2a+c=21
2a carre=c carre
c=a rac 2
2a+a rac 2=21
a[2+rac 2]=21 donc a=b=21/2+ rac 2
puis tu remplace a dans lequation 2a+c=21 donc c=21-2a
hum.....j'ai trouve a=b=6.2 et c=8.6
mais si c'est pas isocele il ya probleme....il faut forcement une autre indication....bonne chance
2007-02-27 08:49:27 · answer #3 · answered by creamy 3 · 0⤊ 0⤋
Si tu prends X + Y + Z = 21.
Et X² + Y² + Z² = 441 (pour les triangles rectangles), il te maque quand meme une équation.
Mais le but est de trouver l'hypothénuse (prenons Z) pour trouver les solutions envisageables avec un cercle. (les triangles inscrit dans un cercle sont rectangles).
Or si tu considère que ton triangle est rectangle ET isocèle, tu peux dire que Y = X.
Tu te retrouves avec :
Z = 21 - 2X
Z² = 441 - 2X²
résolution du systeme.
441 - 2X² = 441 - 42X + 4X².
2X(3X-21) = 0.
Donc X = 7.
Donc un triangle rectangle isocèle de 7 cm de coté est correct.
Donc tout triangle inscrit dans un cercle de 7cm de diamètre répond à ta question.
Et Voila ;)
A++
Exact, désolé pour la bourde ...
Je viens de voir l'erreur énorme que j'ai faite.
Ma réponse est donc totalement fausse et c'est loony qu"y a raison ;)
2007-02-26 16:48:49 · answer #4 · answered by NicosH 3 · 1⤊ 1⤋
Il y a une infinité de réponse.
c = hypoténuse et a et b les côtés adjacent
c = rac(a² + b²)
le périmètre = a + rac(a²+b²) + b = 21.
par exemple si le triangle est isocèle (b = a).
a = b = 21 -10,5*rac(2) et c =rac[1323 - 882*rac(2)]
Cas général :
b = k*a avec k réel positif quelconque
périmètre = a + rac(a² + k²*a²) + k*a = 21
par factorisation : (1+ k + rac(1+k²))*a = 21
d'où a = 21/(1+ k + rac(1+k²))
b = k*a et c = rac(a² + b²).
2007-02-26 16:30:38 · answer #5 · answered by antone_fo 4 · 0⤊ 1⤋