Loi de composition interne?

Question

Soit G un ensemble non vide muni d'une L.C.I (*)
Chacune des équations a*x=b et x*a=b admet une seule solution
Démontrez que (G,*) est un groupe
(x appartient à G et a,b sont fixés et appartiennent à G)

* est associative mais pas commutative

Answer 1

je pense que tu as reponsu a la moitie de la question:
a*x=x*a=b:commutativite a gauche et a droite
(a*x)*b=b*(a*x)=a*x*b: associativite de la loi
a*n=n*a=a avec n=1: element neutre
et l'inicite de 1 se demontre par l'absurde
donc (G;*) est bien un groupe abelien ou commutatif

Answer 2

désolé, mais ton énoncé est faux

Answer 3

Soit x dans G.

Si je peux montrer que G admet un élément neutre, alors c bon: soit 1 cet élément neutre.
a*x = 1 et x*b=1 admettent des solutions a et b.
MQ a=b, et donc que c'est l'inverse de x.
a*(x*b) = a* 1 = a
(a*x)*b= 1 * b = b
donc par assoc a=b.
Donc tout élément admet un inverse, et G est alors un groupe
___________________
montrons que G admet un élément neutre.

Lemme: G est régulier à droite et à gauche.

Preuve: si on a a*b = a*c = d, par unicité de la solution de" l'équation a*x=d, on a b=c, donc G est régulier à gauche.
La régularité à droite est analogue.

On va à présent exhiber l'élément neutre.
Soit x dans G.
On a e1 tq x * e1 = x
On a e2 tq e2 * x = x.
Mq e1=e2

x*x*e1 = x*x par assoc
x*x = (x*e1)*x = x*e1*x
e2*x*x = x * x par assoc
x*x = x*(e2*x) par assoc

Donc x*e1*x = x*e2*x
donc par régularité (cf lemme) on a e1 = e2.

Donc pour tout élément z, il existe un unique e tq z*e=e*z=z

Soit x et y dans G.
Soit e et f tq x*e=e*x=x et f*y=y*f=f
Mq e=f
x*e*y*f = xy par assoc
e*y*f = y par assoc
e*y = y
or f est l'unique sol de x*y=y.
donc f=e et on a un élément neutre.

Donc la démonstration est complète àprésent.

Answer 4

Manque d'infos.La loi (*) est elle commutative,associative?

Answer 5

Il faut effectivement supposer que les équations sont vérifiées quels que soient a et b.
A partir de là en prenant a*x=x*a=a et en appliquant l'unicité on voit qu'il existe e unique qui est l'élément neutre.
On peut alors continuer pour montrer qu'i y a un inverse en cherchant x tel que a*x= x*a= e
etc...

Answer 6

Ton énoncé est faux.

Si on considère l'ensemble (Z / 4 Z , * ); ce n'est pas un groupe car 2 n'est pas inversible. Pourtant, l'équation 1 * X = 1, possède une solution unique.

Donc l'énoncé serait peut-être, pour tout (a,b) dans G², il existe une solution unique à l'équation a*x=b et x*a=b. Dans ce cas, comme (*) est une lci, elle possède un élément neutre noté e. Si on prend b=e, on obtient avec les équations que pour tout a dans G, a est inversible. Donc G est un groupe.