Domanda (non banale) di mate...?

Question

E' possibile partendo dall'equazione y=x+lnx riuscire ad ottenere x in funzione di y? Se si mi potete far vedere come...grazie
Gaetano questa è domanda per te...

Answer 1

Bella domanda, la leggo solo ora!
Ci penso un po su e poi ti dico, davvero grazie per la considerazione, spero di meritarmela!

y= ln(x e^x)
e^y = x e^x
derivando rispetto ad y
e^y dy = x' e^x + x x' e^x dy
ossia
x'( e^x +x e^x) = x e^x
x' = (x e^x) / (e^x+xe^x)
x' = (x e^x +e^x) / (e^x+xe^x) - e^x/(e^x+xe^x)
x' = 1 - 1/(x+1)

Ossia se x=f(y)
f'(y) = 1 - 1/(f(y)+1)
Quindi
f(y) = y - integ(1 / (f(y)+1)) +c

Non riesco a fare progressi... ci penso..
E' interessante notare che f sia una funzione che lega un valore della propria variabile indipendente alla differenza tra tale valore ed un integrale di una funzione di f stessa...
In un certo senso è 'ricorsiva' ...non riesco ad immaginare una funzione analitica che goda di una proprietà del genere...

L'idea di Myskin è bella e corretta, peccato che non dia una soluzione analitica 'umana' :-)

Altra idea:
se fosse y=ln x sarebbe x=e^y
e se provassimo ad esprimere x come e^y*g(y)?
ossia y= e^y g(y) + ln(g(y)) + y
Ossia e^yg(y) = ln(g(y))
ancora, derivando
e^y g'(y) + e^yg(y) = g'(y)/g(y)
g'(y) (e^y - 1/g(y) = - e^y g(y)
g'(y) = (1- g(y)e^y) / ( e^y g^2(y) )
Mi arrendo...
non so trovare una rappresentazione analitica di questa funzione. A questo punto la soluzione migliore è quella dell'ottimo Myskin... anche se speravo in qualcosa di meglio!
Mi spiace deluderti Al, ci ho provato, ma non ci sono riuscito!


P.S.
Mitheldil quali sono le bestialità?
Volevo solo vedere se esprimendo x in funzione di y e derivando rispetto ad y riuscivo a dire qualcosa di più su x
Ad esempio se riuscivo a ricavarmi la derivata di x rispetto ad y potevo poi integrare ed ottenere x a meno di una costante...
Oppure almeno a capire qualcosa di più su f(y)

Il fatto di esprimere y come serie di taylor sarebbe buona come idea, se non fosse che: come si trova l'inversa di una sommatoria di infiniti termini in x? Non mi sembra percorribile...

Dove ho scritto x' si intende la derivata di x rispetto ad y.
Premesso che io dalle 9 alle 17 lavoro e dirigo un team con un attività abbastanza frenetica, è possibile che io possa aver commesso degli errori. Sono un uomo!! e scusami se il Dini e tutte queste belle cose le ho studiate 20 anni fa...
La matematica è una passione per me... non un lavoro.
Però tu che sei senz'altro più bravo... mostrami dove ho sbagliato, io sarò contento di ringraziarti.

Answer 2

Allora la funzione data è biunivoca ed invertibile essendo composta da due funzioni biunivoche ma avendo come componente una funzione trascendente (il logaritmo) l'unico modo per cercare di trovare una espressione che si possa invertire è sviluppare il logaritmo secondo un opportuno polinomio di taylor anche se x dovra essere limitato al valore 2
ln x = (x-1) - 1/2 (x-1)^2+ 1/3 (x-1)^3-....
quindi puoi trovare così un'espressione analitica della inversa

Answer 3

Beh innanzitutto possiamo notare che è una funzione da R+-->R
suriettiva e iniettiva, quindi la funzione inversa esiste sicuro anche globalmente, il problema è riuscire ad esplicare tale funzione in maniera globlale ma quello è un'altro paio di maniche, di certo applicando la teoria delle funzioni implicite e il teorema del Dini è possibile trovare LOCALMENTE in ogni punto (x,y) con x>0 la sua inversa, e scriverne lo sviluppo di taylor..cmq quando ho più tempo provo a vedere meglio.
Ciao

Il fatto è che se anche esiste l'inversa il problema della sua esplicabilità non è sempre possibile,cmq sapendo che f(x) è derivabile infinite volte e diversa da zero sappiamo che è un diffeomorfismo di classe c-infinito, e secondo me la migliore cosa è fissa re un punto, es. (1,1), e scrivere lo sviluppo di tayler dell'inversa..
f(y)+ln(f(y))-y=0
derivare rispetto ad y e trovare
f'(y)=1-1/(1+f(y))

per trovare le derivate successive basta continuare a derivare questa..
esempio taylor al terzo ordine
f(y)=1+1/2 (y-1)+1/16 (y-1)^2-1/192 (y-1)^3+o(x^4)

Answer 4

dico di dì, ma poichè inviti Gaetano_ (anch'io)

ASPETTANDO GODOT
(non deluderci)

Answer 5

Beh, il suggerimento di usare lo sviluppo di Taylor non e' per nulla sbagliato... ma qualcuno sa come invertire una funzione analitica globalmente???

Diciamo che e' globalmente molto complicato e localmente si puo' usare il Teorema del Dini... Ma ricordiamoci che il Dini e' un teorema di esistenza e non e' molto operativo...

se devi fare la derivata, ricordati che non serve obbligatoriamente scriverla in maniera esplicita (la derivata dell'inversa e' l'inversa (cio\`e "la frazione") della derivata...

In ogni caso direi che Gaetano ha scritto delle bestialita'... (mi dispiace x la classe degli informatici..)

Answer 6

intanto devi pensare che in questa espressione ci sono 2 incognite.....poi
se hai y=x+x puoi fare cosi le x le trasporti(legge del trasporto) e rimarebbe cosi +2x+y=1