¿Cómo demuestro que la inversa de una matriz transpuesta es igual la transpuesta de la inversa de esa matriz?

Question

(A')-1 = (A-1)'

Answer 1

Este tipo de ejercicios son muy tipicos de la parte de matrices y todos se hacen de manera muy parecida
Sea A una matriz y InvA su inversa
A*Inv(a)=I; siendo I la matriz identidad(recuerda todo ceros menos la diagonal principal que son unos)
Si calculo la inversa de los dos miembros el resultado no varia
(A*Inv(A))`=I`; I`=I
(A*inv(A))`=I
Hay una propiedad de matrices que me dice que (AB)`=B`A`
Inv(A)`*A`=I
Si sigo el mismo razonamiento pero multiplicando por la derecha, es decir que Inv(A)*A=I
llegare a que A`*Inv(A)`=I
Luego Inv(A)`=Inv(A`), puesto que Inv(A)` es una matriz que cumple la propiedad que cumplen las inversas que multiplicandolas bien por la Izda o bien por la derecha el resultado es la identidad, y como la matriz inversa es unica ambas tiene que ser la misma matriz
Espero quie la explicacion no sea demasiado farragosa y haberte ayudado

Answer 2

El lenguaje matematico es dificil de expresar aqui por lo que sustituire A ^ -1 (Inversa de A) por Ai.

Sabemos que la matriz inversa se define como Ai = |A|i ·Adj(A)t (Inversa del determinante de A multiplicado por la adjunta de la traspuesta de A).

Si la matriz analizada es At (A traspuesta) la formula queda asi:
(At)i = |At|i · Adj (At)t
y como sabemos que el determinante de At es igual al de A, y la traspuesta de At es A. Sabremos que Ai = (At)i y como ((At)i)t = Ai

Y ademas sabemos que (At)i es igual a Ai, sustituyendo en la ultima ecuación obtenemos: (At)i = (Ai)t

Es bastante dificil comprender esto sin latex o un software similar, asi que te recomiendo escribir esto en un papel.

Un saludo.

PD: Es posible que haya alguna forma mas facil de hacerlo perooo... a estas horas... ya es pedir demasiado :D

Un saludo

Answer 3

por que el oredn de los productos no altera el resultado