Simple exercice pratique sur le théorème des tiroirs et des chaussettes?

Question

Soit E un ensemble de 7 nombres réels.

Démontrer qu'il existe x et y, éléments de E, tels que:
0 < (x-y)/(1+xy) < 1/racine(3)

E ensemble de 7 nombres réels DISTINCTS.

Answer 1

soit x_1, .... , x_7 tes 7 réels.
on pose y_i = Arctan x_i

on a (x_i - x_j) / (1+ x_i x_j)= tan(y_i - y_j)

cela revient à montrer que pour 7 réels y_1,... ,y_7 donnés dans ]-pi/2,pi/2[, on peut en choisir 2 tq 0 ie par bijectivité de tangente
0< y_i - y_j < pi / 6.

C'est alors que l'existence est assurée par le lemme de Dirichlet avec les 6 tiroirs découpant équitablement ] - pi/2, pi/2[, avec 7 réels, on en a 2 dans le même tiroir.

Answer 2

T'es gentil, tes devoirs tu les fais tout seul!