Q dense dans R?

Question

Quelles sont les grandes lignes de démonstration que Q est dense dans R (ensemble des Réels) ?

Answer 1

Une démonstration consiste à dire que pour tout réel x il existe une suite (un) d'éléments de Q qui converge vers x :
un = E(x*10^n)/10^n (n>1) où E est la partie entière.
J'ai même démontré que D est dense dans R.

Answer 2

Tout nombre réel admet une écriture décimale propre. Il se définit donc comme la limite des écritures décimales partielles successives (par exemple pour pi: 3 3,1 3,14 3,141 etc.), qui se trouvent être des nombres rationnels particuliers. D'où le résultat cherché.

Answer 3

Tu choisis deux réels a
Tu commences par choisir un entier m>0 assez grand pour que le produit m(b-a) soit >1. Ceci entraîne que la distance entre mb et ma est >1 donc qu'il y a un entier n compris entre ma et mb ; on a donc :

ma < n < mb d'où :
a < n/m < b

et n/m est bien un rationnel compris entre a et b.

Answer 4

reponse tres intelligente de genti.... ça vaut quoi ça? du 15ans, non?!

Answer 5

Il faut que tu cherches a demontrer que quel que soit a (reel) et epsilon (reel aussi petit que tu veux), il existe x rationnel tel que
a < x < a+epsilon

Answer 6

On part de l'axiome d'Archimède (qui n'en est pas un): N n'est pas borné par un réel.
en particulier pour tout e>0, on a un n entier tq 1/n < e

Soit a un réel, et e>0. on va trouver un rationnel dans [a-e;a+e], ce qui montre le résultat.
soit n tq 1/n < e
on considère le plus grand entier p tq p/n alors (p+1)/n convient car a<= (p+1)/n < a + 1/n < a + e.

CQFD

Answer 7

Resultat general
Une partie A de E est dense dans E si l' adherence de A est egale a E
Bon evidemment tu va me demander ce qu' est l' adherence ben ouvre ton livre ou ton cours faut pas abuser.....